Задача номер 3.2.36.

[Omega]

Помогите пожалуйста с задачей номер 3.2.36 из сборника О.Я.Савченко.
Ещё одна задача на нахождение периода колебаний.
Условие:
В цилиндрическом сосуде радиуса $R$ находится поршень длины $l$, соединенный пружиной жесткости $k$ со стенкой
сосуда. По оси поршня имеется сквозной канал радиуса $r$. Все свободное пространство в сосуде заполнено жидкостью плотности $\rho$.
Найдите частоту колебаний поршня, если $l  \gg R$ и масса поршня равна $m$.



Мне совершенно непонятно,как в этой задаче я смогу найти кинетическую энергию движущейся при колебаниях поршня жидкости.
Прошу помощи.Заранее всем спасибо.

[Omega]

Пускай поршень сдвинется на расстояние $x$, тогда он,так скажем: "выдавит", жидкость объёмом
$V=\pi x ( R^{2}-r^{2})$. Эта же самая жидкость будет продавливаться через канал со скоростью $v=v_{0} \left(\dfrac{S_{0}}{S} \right) = v_{0} \left(\left(\dfrac{R}{r} \right)^{2}-1\right) $, где $v_{0}$ - скорость движения поршня. И тогда кинетическая энергия этой жидкости и есть: $E= \dfrac{\rho V v^{2}}{2}$.
Всё ли верно? Или так рассуждать полностью неправильно?

[nikvic]

Это рассуждение и предполагается. Формально к исходной массе как бы присоединяется дополнительная - в окончательном выражении для кинетической энергии.

[Omega]

Просто,к сожалению, дальше у меня ничего не получается

[nikvic]

Omega в сообщении #651913 писал(а):

Просто,к сожалению, дальше у меня ничего не получается

Осталось немного - выразить всю кин. энергию через скорость.

[Omega]

$E_{0}= \dfrac{\rho}{2} \left (\pi x ( R^{2}-r^{2}) \right) \left(\dot{x} \left(\left(\dfrac{R}{r} \right)^{2}-1\right) \right)^{2} + \dfrac{m \dot{x}^{2}}{2}$
Помогите, дальше-то как?Как бы я ни старался, с ответом не сходится.

[nikvic]

Одну ошибку вижу: переменная х не должна входить в выражение.

[Omega]

Я о том же, но как без неё? Выходит поршень толкает другую массу жидкости,не ту, что я имел в виду в формулах.

[nikvic]

Omega в сообщении #652977 писал(а):

Я о том же, но как без неё? Выходит поршень толкает другую массу жидкости,не ту, что я имел в виду в формулах.

Вы путаете переменную с постоянной, данной в условии (длина полости).