Пять точек, ровно два различных расстояния

[Ktina]

Можно ли отметить на плоскости 5 точек так, чтобы среди попарных расстояний между ними было ровно два различных, а сами точки не представляли собой вершины правильного пятиугольника?

[gris]

Четыре точки в одну, пятую — подальше. Шутка, конечно. Но Вы же не написали, что пять различных.

[Ktina]

gris в сообщении #651296 писал(а):

Четыре точки в одну, пятую — подальше. Шутка, конечно. Но Вы же не написали, что пять различных.

Не вопрос.
Пять попарно различных точек.
А ещё лучше пять точек, никакие две из которых не совпадают.

[TOTAL]

Ktina в сообщении #651303 писал(а):

А ещё лучше пять точек, никакие две из которых не совпадают.

Не совпадают с чем? Надо уточнить!

[Ktina]

TOTAL в сообщении #651311 писал(а):

Ktina в сообщении #651303 писал(а):

А ещё лучше пять точек, никакие две из которых не совпадают.

Не совпадают с чем? Надо уточнить!

Друг с дружкой.

[ewert]

Ну в любом случае потребуется, наверное, тот или иной перебор. Например, легко видеть, то никакие три точки не могут находиться на одинаковом расстоянии -- ни на большом, ни на маленьком (там все возможные варианты расположения оставшихся двух точек легко перебираются, и все оказываются плохими).

Пусть расстояние между точками $A$ и $B$ маленькое. Оставшиеся три точки не могут находиться на большом расстоянии одновременно и от $A$, и от $B$ (поскольку таких положений лишь два). Значит, существует точка $C$, расположенная на маленьком расстоянии от одной из тех двух точек. Для определённости считаем маленьким расстояние между $B$ и $C$; тогда расстояние между $A$ и $C$ -- большое. Четвёртая точка $D$ при этом не может находиться на маленьком расстоянии и от $A$, и от $C$ (т.к. тогда $BD$ оказалось бы ещё меньше), но не может находиться и одновременно на большом (треугольник $ACD$ оказался бы равносторонним). Для определённости полагаем, что расстояние $CD$ маленькое, тогда $BD$ и $AD$ -- большие. Ну так совокупность требований: $AB=BC=AC$ -- маленькие и $AC=BD=AD$ -- большие задаёт конфигурацию точек однозначно; следовательно, это -- вершины правильного пятиугольника.

[Ktina]

ewert, спасибо!

В одном из старых номеров "Науки и Жизни" приводилось другое доказательсво. Если у кого-нибудь сохранился этот номер, напомните, пожалуйста.

[ewert]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #651593 писал(а):

В одном из старых номеров "Науки и Жизни" приводилось другое доказательсво.

Боюсь, что там тоже какое-нибудь занудство (ну разве чуть менее занудное, чем моё).

[Утундрий]

Может посоревнуемся в максимально занудном доказательстве?

(Оффтоп)

Пусть построение выполнено и искомые точки обнаружены. Мы не придем к противоречию, пользуясь этим условием в процессе определения взаимного расположения искомых пяти точек, так как противное означало бы, что таких точек нет. Если же мы твердо уверены, что желаем достичь желаемого и отыскать искомые пять точек, то не должно нам смущаться заранее предусмотренным предположением их наличия. Итак, отложив сиюминутное в сторону и приняв за истинное утверждение о наличии в плоскости означенного набора из пяти точек, смело отметим Одну. Это всегда возможно, а значит - допустимо. Вслед на Одной отметим Вторую так, чтобы (и я особо настаиваю на этом "чтобы") расстояние Второй до Одной было не нуль. Нуль не должен быть числом, коему равно расстояние между Одной и Второй и расстояние это должно быть не нуль. Третья же, могущая быть установима вослед первым Двум, обязана в совокуплении с оными сопоставить треугольник не менее чем Равнобедренный. Равносторонним быть ему можно. Но не разнобедренным ему должно быть, ибо разнобедренность даст число Три, хотя должно быть Два, что меньше нежели Три и не равно ему....