Сколько существует непрерывных функций

[Sul]

Сколько непрерывных функций, определенных на всей прямой, удовлетворяют равенству $f(f(x))=f(x)$ (для любого $x$)?

С какой стороны подойти не знаю. Очевидно условию удовлетворяет любая постоянная, а так же $f(x)=x$. Есть ли вообще другие непрерывные функции с этим условием? Если есть, то отображение должно быть по-крайней мере не инъективным, иначе это опять будет тождественная. Пример разрывной функции привести могу, а вот непрерывной нет. Быстрые прикидки намекают, что в элементарных больше такую выразить и не получится... Какие идеи решения тут могут быть?

[venco]

Выбираете произвольную область значений функции $f(x)$. Ввиду непрерывности эта область может быть одним из вариантов:
$[a,b], a \le b$
$[a,+\infty)$
$(-\infty,b]$
$(-\infty,+\infty)$
На этой области должно быть $f(x)=x$, вне этой области значения могут быть любыми (но входить в область значений).

[olenellus]

Sul в сообщении #651535 писал(а):

Сколько непрерывных функций, определенных на всей прямой, удовлетворяют равенству f(f(x))=f(x) (для любого х)?

Ответ: $2^{\aleph_0}$

И вы уже это показали. С одной стороны, мощность множества исходных искомых функций не больше, чем $2^{\aleph_0}$, так как они непрерывны. С другой стороны, множество постоянных функций есть подмножество множества искомых функций. А множество констант равномощно $\mathbb{R}$. То есть, искомых функций не меньше, чем $2^{\aleph_0}$. А значит их ровно $2^{\aleph_0}$.

[Sul]

Так то это так, но тогда задача была бы слишком простой, интересно было именно есть ли какие-то другие функции. Оказывается есть, и их куча. Спасибо, попытаюсь разобраться с областью значений.

[ewert]

venco в сообщении #651544 писал(а):

Ввиду непрерывности эта область может быть одним из вариантов:
$[a,b], a \le b$
$[a,+\infty)$
$(-\infty,b]$

Кстати, это не совсем правда (хотя на ответ и не влияет).

[venco]

olenellus в сообщении #651561 писал(а):

С одной стороны, мощность множества исходных функций не больше, чем $2^{\aleph_0}$, так как они непрерывны.

Я в этом не очень разбираюсь, так что можно это утверждение обосновать? Как то мне не очевидно, что множество непрерывных функций равномощно континууму.

-- Чт ноя 29, 2012 12:08:32 --

ewert в сообщении #651571 писал(а):

Кстати, это не совсем правда (хотя на ответ и не влияет).

Действительно, границы могут быть открытые.

[Sul]

Каждой непрерывной функции можно однозначно сопоставить ее значения в рациональных точках, т.к. в остальных она определяется по непрерывности. А всех возможных подмножеств счетного множества - континуум.

[Maslov]

venco в сообщении #651573 писал(а):

Я в этом не очень разбираюсь, так что можно это утверждение обосновать? Как то мне не очевидно, что множество непрерывных функций равномощно континууму.

venco, посмотрите тему «Мощность множества непрерывных функций»

[venco]

Цитата:

Если $X$ счётно, то существует ровно континуум функций из $X$ в $\mathbb{R}$.

Вот этот пункт мне непонятен, и в той теме не раскрыт.

-- Чт ноя 29, 2012 14:12:32 --

Всё, сообразил сам.