Площадь поверхности, не могу определить одну границу

[Limit79]

Требуется найти площадь поверхности $y^2=2z$, отсеченной плоскостями: $x=4y, y=4x, y=2$.

Пытаюсь спроецировать данную поверхность на плоскость $xOy$, получаю нечто следующее:

(Оффтоп)

В проекции получается две области, одну нашел (на рисунке выделена зеленым цветом), а у второй области не могу найти одну границу (две другие границы - прямые $x=4y, y=4x$).

[gris]

Какие-то странные прямые у Вас. Две почему-то не проходят через начало координат. А поверхность цилиндрическая, располагается хорошо.

[Limit79]

gris
Ой, и в правду. Перечертил - так получается же одна область - треугольник.

Получается аналогично - один треугольник (при $x \geqslant 0$ и $y \geqslant 0$), он ограничен прямыми $y=4x, x=4y, y=2$. А та часть, которая проецируется в область $x \leq 0, y \leq 0$ - не очень понятна.

[gris]

Правильно. Вот из цилиндра (параболического) и вырезается треугольный лоскут с найденной треугольной проекцией. Поверхность задаётся явной функцией. Всё хорошо.
Плоскости рассекают цилиндр на 7 частей. Из них только одна конечная, то есть отсечена этими плоскостями. Остальные не имеют конечной площади поверхности. Образующая цилиндра параллельна оси икс.

[Limit79]

gris
Хм, занчит я что-то путаю, и та область, которая вторая - незамкнутая.

-- 29.11.2012, 18:07 --

То есть получается: $S = \iint_{D}^{ } \sqrt{1+y^2} dx dy$ ?