Если объекты дуальные

[schoolboy1]

В учебнике Коренева Г.В. "Тензорное исчисление" изд.МФТИ http://knigi.tr200.net/f.php?f=%EB%F3%F0%FC%E5+%EE%EF%E5%F0%E0%F6%E8%EE%ED%ED%EE%E5+%E8%F1%F7%E8%F1%EB%E5%ED%E8%E5&p=0на стр.21 решение упражнения начинается непонятно: "если $a_i_k$-объект дуальный $a_i$, то в силу антисимметрии $a_i_k, \lvert a_i_k\rvert =0$" (детерминант равен нулю).
Вопрос1: Даже если объекты дуальные, то откуда следует, что имеется антисимметрия?
Вопрос2: Условие антисимметрии $a_i_k=-a_k_i$, как из этого возникает равенство нулю детерминанта?
Вопрос 3:Как получились дуальные объекты с этими индексами: (i,k) и снова( i) ? Дуальные получаются объекты с индексами: i,k,l (эль), т.к. $a_l=l_i_k_l a_l$ -связь между дуальными объектами.

[olenellus]

schoolboy1 в сообщении #651423 писал(а):

Вопрос1: Даже если объекты дуальные, то откуда следует, что имеется антисимметрия?

Из определения дуальности: свёртка с абсолютно антисимметричным тензором.

schoolboy1 в сообщении #651423 писал(а):

Вопрос2: Условие антисимметрии $a_{ik}=-a_{ki}$, как из этого возникает равенство нулю детерминанта?

Ну, это легко доказать, использовав, например, тот факт, что $\det A^T=\det A$, и то, что пространство трёхмерно. Ну а можно прямо расписать определитель для $3\times3$ матрицы и посмотреть, что будет при её антисимметричности.

schoolboy1 в сообщении #651423 писал(а):

Вопрос 3:Как получились дуальные объекты с этими индексами: (i,k) и снова( i) ?

Как Вы обозначите индексы в отдельно взятых тензорах индексы — неважно. Главное, чтобы они были согласованы в уравнениях.

schoolboy1 в сообщении #651423 писал(а):

Дуальные получаются объекты с индексами: i,k,l (эль), т.к. $a_l=l_{ikl}a_l$ -связь между дуальными объектами.

А вот так обозначать точно не надо. У Вас два $l$ совершенно разные по смыслу стоят в одном и том же уравнении. Кроме того, после свёртки по индеску $l$, у Вас этот индекс, почему-то, остался, а индесы $i$ и $k$ куда-то пропали. Лучше абсолютно антисимметричный тензор обозначать, как его обычно обозначают: $\varepsilon_{ijk}$. Тогда правильная формула получается такой:

$$a_{ij}=\varepsilon_{ijk}a_k$$