Вся эта абстрактная чепуха выше меня

![$A[M]=\{f\colon M\to A\mid f\text{--- равно нулю почти всюду на }M\}$ $A[M]=\{f\colon M\to A\mid f\text{--- равно нулю почти всюду на }M\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/a/b9aaede84445fc82e0767157edbcc16282.png)
Пусть
![$\alpha,\beta\in A[M]$ $\alpha,\beta\in A[M]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/f/c7f8f7bddd199aae20aa5c583eafe21882.png)
, тогда полагаем

для любого

;

для любого

.
Что такое формальная сумма? Ну вот

— само по себе это набор значков, без всякого смысла.
1) Создаем
![$\mathbb Z[x]$ $\mathbb Z[x]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/3/513b60fb66d6cff36a3cb9becc2d612282.png)
— как множество финитных последовательностей, вводим сложение-умножение этих последовательностей, обозначаем

как

, а

как

— тогда

становится обозначением
![$(1,1,3,0,0,\dots)\in\mathbb Z[x]$ $(1,1,3,0,0,\dots)\in\mathbb Z[x]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/1/d71c0c612a79a9257f72ebcdd5d91bb682.png)
.
2) Называем это "формальной суммой", собираем целое множество таких сумм, отождествляем

и

, отождествляем

и

, вводим формальное сложение-умножение:

,

и т.д. Получается вполне себе
![$\mathbb Z[x]$ $\mathbb Z[x]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/3/513b60fb66d6cff36a3cb9becc2d612282.png)
.
-- Чт ноя 29, 2012 02:22:10 --Собственно говоря, что вообще такое алгебра многочленов от переменных

над кольцом

? Это моноидная алгебра
![$A[M]$ $A[M]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/6/e86955c538964a410073272ca167046282.png)
, где

— свободный абелев моноид с образующими

.
Хм,
![$A[M]$ $A[M]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/6/e86955c538964a410073272ca167046282.png)
еще небось и универсальный объект в какой-нибудь там категории?