Числовые последовательности

[Mitrius_Math]

I. Утверждение.
Пусть: 1)$\{x_n\}$ - последовательность вещественных чисел;
2) $\lim_{n \to \infty}{x_n}=a$.
Тогда любая подпоследовательность $\{x_{k_n}\}$ сходится к $a$.

Доказательство.
Согласно определению, число $a$ является пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого положительного числа $\varepsilon$, начиная с некоторого номера $m$, все члены последовательности находятся в $\varepsilon$-окрестности точки $a$. Но тогда и все члены любой подпоследовательности, начиная с некоторого номера, находятся в той же самой окрестности, что и доказывает её сходимость к числу $a$.

Это верно?

-- Чт ноя 29, 2012 01:16:42 --

II. Пусть: 1) дана последовательность вещественных чисел $\{x_n \}$;
2) $k \in \mathbb{N}$ - фиксированное число.
Верно ли, что:
1) последовательность $\{x_{n+k}\}$ есть последовательность $\{x_n \}$ без первых $k$ членов;
2) последовательность $\{x_{n-k}\}$ есть последовательность $\{x_n \}$ с добавлением $k$ первых членов, если это имеет смысл?

Думаю, что да. Подскажите, пожалуйста, прав ли я.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: простой учебный вопрос

[lunya]

I. Утверждение верно.

II. 1) - верно
II. 2) - не верно, так как номер последовательности - есть натуральное число по определению.

[Mitrius_Math]

lunya в сообщении #653818 писал(а):

не верно, так как номер последовательности - есть натуральное число по определению.

Спасибо за ответ!
Думал об этом. Но как тогда быть с теоремой Штольца?

-- Пн дек 03, 2012 23:38:14 --

lunya в сообщении #653818 писал(а):

. Утверждение верно.

То, что оно верно, я знаю. Верно ли доказательство?

[SpBTimes]

1) Доказательство верно
2) Верно, раз $k$ фиксировано. Только второе - немного ненатурально. Ваша последовательность начнется тогда с $n = k + 1$, а до этого её надо как-то доопределять