Теория групп, "альтернативное" определение операций.

[Doil-byle]

arseniiv в сообщении #651171 писал(а):

Что, они и правда не использовали $<$?

Не знаю. Не читал их трудов. Но ходят такие слухи

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #651171 писал(а):

(С первой ссылкой вы точно не перепутали? )

Это, конечно, не "авторитетный источник", но уж больно понравилась мне статья

[arseniiv]

Исторические замечания Арнольда мне кажутся не совсем верными (прочитал вторую).

[migmit]

arseniiv в сообщении #651171 писал(а):

Что, они и правда не использовали $<$?

Бурбаки, разумеется, использовал знак $<$, но гораздо реже, чем $\leqslant$. Поэтому в его книгах $<$ назвается "строго меньше", а $\leqslant$ — просто "меньше".

А Арнольду не стоит особо верить, у него антибурбакизм съел большУю часть мозга.

[Doil-byle]

arseniiv в сообщении #651177 писал(а):

Исторические замечания Арнольда мне кажутся не совсем верными (прочитал вторую).

А какие именно? Все?

Конечно, мне не нравятся высказывания Арнольда о том, что настоящая математика геометрична и физична, а всё остальное, дескать , неинтересно и не нужно. Так и хочется возразить - сказать, что настоящая математика алгебраична и математична.

Цитата:

Теория Манина состоит из трех частей.

Во-первых, он определяет математику как раздел филологии или лингвистики: это наука о формальных преобразованиях одних наборов символов некоторого конечного алфавита в другие при помощи конечного числа специальных "грамматических правил". Отличие математики от живых языков состоит, по Манину, лишь в том, что в ней больше грамматических правил. Например, имеется правило, позволяющее заменять символы "1+2" на "3".

Второй тезис Манина основан на том, что любому человеку с непредвзятым мышлением ясно: подобным переливанием из пустого в порожнее нельзя открыть ничего нового. Если все же в конце и получается что-то интересное, то это означает просто, что оно содержалось уже в исходных данных. Поэтому общество, правительства и т. п. не хотят оплачивать все это бессмысленное переливание из пустого в порожнее. Но математики хотят получать стипендии, гранты и тому подобное. Для этой цели они изобрели университеты и факультеты, где студентов обучают претендовать на открытия (которые им недоступны в силу самого характера их деятельности, как объяснено выше). В этом, по Манину, состоит сущность математического образования: это просто обучение претенциозности.

Манин - вообще весельчак.

[arseniiv]

Doil-byle в сообщении #651251 писал(а):

А какие именно? Все?

Ну, я в исторических фактах разбираюсь, скорее всего, не лучше него, но что-то в том изложении показывает, что он исказил достаточно сильно.

Doil-byle в сообщении #651251 писал(а):

Так и хочется возразить - сказать, что настоящая математика алгебраична и математична.

Только некому: его уже нет. А вообще, странно рассматривать математику только с какой-то одной стороны.

[INGELRII]

migmit в сообщении #650953 писал(а):

И как вы собираетесь разложить "произведение" всех простых "плюс" единица?

Можно допустить, что единица тоже имеет делители. А разложение любого числа на простые множители считать единственным с точностью до умножения на целую степень единицы.

Но, похоже, идея дурацкая. Уже успел в ней разочароваться.

[tolstopuz]

INGELRII в сообщении #651736 писал(а):

Можно допустить, что единица тоже имеет делители. А разложение любого числа на простые множители считать единственным с точностью до умножения на целую степень единицы.

Возьмите какое-нибудь локальное кольцо, скажем, рациональных дробей с нечетными знаменателями. Единственное простое число там будет $2$, а все дроби с нечетными числителями будут делителями единицы, например, $\frac 3 5 \cdot \frac 5 3 = 1$. Разложение будет единственным с точностью до обратимых элементов: $\frac {12} 5 = 2^2 \cdot \frac 3 5$. Остается только пронумеровать все такие дроби натуральными числами :)

[Joker_vD]

INGELRII в сообщении #651736 писал(а):

Можно допустить, что единица тоже имеет делители. А разложение любого числа на простые множители считать единственным с точностью до умножения на целую степень единицы.

Поздравляю, вы переоткрыли идею ассоциированных элементов: $a$ и $b$ называются ассоциированными, если $a=b\varepsilon$, где $\varepsilon$ — обратимый элемент (делитель единицы). "Однозначность разложения на множители" обычно формулируют так: если необратимый элемент $x$ представляется в виде $x=p_1\dots p_m=q_1\dots q_n$, где $p_i,q_j$ — неприводимые элементы, то $m=n$ и после подходящей перенумерации элементов $q_j$ имеем, что $p_i$ и $q_i$ — ассоциированные элементы, $i=\overline{1,m}$.

Кстати, вспомните разложение на множители в $\mathbb Z$: $12=2\cdot2\cdot3=(-2)\cdot2\cdot(-3)=(-2)\cdot(-2)\cdot3$

[mrbus]

Если по определению положить (а кагбэ так и считается):
2 = 1+1,
3 = 2+1,
4 = 3+1 и т. д. (про 0 и 1 молчу), то все определяется однозначно.
Если же нет, то вопрос только в обозначении чисел. Переобозначьте их как захотите и получите искомое.
Это я к первоначальному вопросу.