Помогите решить тригонометрическое уравнение

[fiztech]

$\sin(2x)+2\ctg(x)=3\\ 2\sin(x)\cos(x)+2\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=3\\ \frac{2\sin^2(x)\cos(x)+2\cos(x)}{\sin(x)}=3\\ 2\sin^2(x)\cos(x)+2\cos(x)=3\sin(x)\\ 2\left(1-\cos^2(x)\right)\cos(x)+2\cos(x)=3\sqrt{1-\cos^2(x)}\\ $

Потом $\cos^2(x)=t$ и возводим в квадрат все равенство.

$t(1-t+t^2)+2t(1-t)+t=\frac{9}{4}(1-t)\\ t-t^2+t^3+2t-2t^2+t=\frac{9}{4}(1-t)\\ 4t-4t^2+4t^3+8t-8t^2+4t=9-9t\\ 4t^3-12t^2+25t-9=0$

И дальше не могу решить. Подскажите как.

[Sonic86]

Сведение к алгебраическому уравнению, наверное, все же проще осуществлять универсальной тригонометрической подстановкой - так легче (настоятельно рекомендую сделать это в данном случае - для упрощения выкладок и самопроверки).
Насчет решения уравнения пока ничего не скажу. Можно стандартно привести к приведенному уравнению с целыми коэффициентами, а потом пробовать перебирать делители свободного члена. Если корня нет - значит он в алгебраическом виде некрасив.

[fiztech]

Sonic86

да тут что-то на ум не приходит путного,что подставить

[Sonic86]

fiztech в сообщении #651115 писал(а):

да тут что-то на ум не приходит путного,что подставить

Не понял, что подставить и для чего?
upd: Один корень очевиден даже в исходной постановке. Решайте, здесь ничего сложного нет.

[ИСН]

Sonic86 в сообщении #651112 писал(а):

Сведение к алгебраическому уравнению, наверное, все же проще осуществлять универсальной тригонометрической подстановкой

Хрен там рос. Легче-то оно легче, но степень уравнения получается в среднем вдвое выше, а это фатально.

[fiztech]

Sonic86
Я имею ввиду, что не вижу здесь где можно было бы с пользой применить какие либо тригонометрические формулы.

[ИСН]

А тут что скажешь. Ничего не скажешь. Надо было как-нибудь переписать всё это как уравнение на $\sin2x$ или $\cos2x$ - тогда один хороший корень, эээ, более очевиден.

[Slip]

fiztech
знаете, что синус и косинус легко выразить через тангенс половинного угла?
ИСН
ну в данном случае выйдет тоже кубическое уравнение, только корни у него будут лучше угадываться. Да и вывод будет быстрее.

[ИСН]

Slip в сообщении #651126 писал(а):

ну в данном случае выйдет тоже кубическое уравнение, только корни у него будут лучше угадываться

Ровно за этим и предлагаю.

[Slip]

ИСН
я имел в виду уравнение на котангенс. Хотя и на $\sin 2x$ тоже должно быть хорошо.

[fiztech]

$\frac{2\ctg(x)}{1+\ctg^2x}+2\ctg(x)=3$

Вот, что надо было сделать. Так лучше. Всем спасибо

[Sonic86]

fiztech в сообщении #651153 писал(а):

Вот, что надо было сделать.

Если что, это и есть

Sonic86 в сообщении #651112 писал(а):

Сведение к алгебраическому уравнению, наверное, все же проще осуществлять универсальной тригонометрической подстановкой