Теория групп, "альтернативное" определение операций.

[INGELRII]

Такой вопрос возник: можно ли определить на множестве натуральных чисел операции "сложения" и "умножения" так, чтобы они не совпадали со стандартными, но при этом удовлетворяли всем аксиомам (коммутативность, дистрибутивность, ...)? Скажем, мы приняли, что $2+2=5, 2 \times 3=7, 5 \times 3=19$. Отсюда получаем $7+7=2 \times 3+2 \times 3=(2+2) \times 3=5 \times 3=19$.

В частности, можно ли так определить эти операции, чтобы любое натуральное число можно было разложить на "множители"? Притом единственным образом? И чтобы при этом количество "простых" чисел было конечно?

[bot]

Да без проблем. Только Вы скорее не о группе говорите, а о кольце или о поле, если речь зашла о двух операциях и законе дистрибутивности. Берём произвольную биекцию $f: \mathbb N\rightarrow \mathbb Z$ и определяем операции $\oplus, \odot$ на $\mathbb N$ следующим образом:

$x\oplus y=f^{-1}(f(x)+f(y)),\, x\odot y=f^{-1}(f(x)\cdot f(y))$

Здесь $+$ и $\cdot$ - это обычные сложение и умножение, но с тем же успехом можно взять и другие. Иначе говоря любую счётную группу (кольцо, поле) можно считать задаанной на множестве натуральных чисел и нейтральные (по сложению и умножению) элементы выбирать как душе угодно.

Вот какую группу (кольцо, поле возьмёте), то и получите после такого переименования.

Upd. В такой постановке здесь не о чем дискутировать, но может быть Вы что-то другое подразумевали, чего я не понял?

[INGELRII]

Спасибо! Подискутировать хотелось, собственно, об этом:

INGELRII в сообщении #650878 писал(а):

В частности, можно ли так определить эти операции, чтобы любое натуральное число можно было разложить на "множители"? Притом единственным образом? И чтобы при этом количество "простых" чисел было конечно?

Возникла смутная мысль, что конечность "простых" чисел можно было бы как-то связать с разложением чисел на собственно простые множители. И извлечь отсюда какие-нибудь выгоды.

Но, кстати, если вводить операции Вашим способом, то "простых" чисел тоже будет бесконечно много: все числа вида $f^{-1}(p)$, где $p$ - простое.

[migmit]

INGELRII в сообщении #650878 писал(а):

В частности, можно ли так определить эти операции, чтобы любое натуральное число можно было разложить на "множители"? Притом единственным образом? И чтобы при этом количество "простых" чисел было конечно?

И как вы собираетесь разложить "произведение" всех простых "плюс" единица?

[Doil-byle]

Вообще, любая подгруппа $Z$ имеет вид $nZ$, где $n \in Z_{+}$. Для доказательства можно рассмотреть уравнение $a+x=b$ с такими различными $a$ и $b$, чтобы $x$ был не больше каких-либо решений при других коэффициентах. Ну, и далее соображения по поводу класса вычетов по модулю x и доказательство того, что этот класс нулевой. Так что, как-то особо хитро определить операции не получится.

[arseniiv]

Doil-byle в сообщении #651080 писал(а):

где $n \in Z_{+}$

Чем же $0Z = \{0\}$ не подгруппа?

[Mathusic]

arseniiv в сообщении #651098 писал(а):

Doil-byle в сообщении #651080 писал(а):

где $n \in Z_{+}$

Чем же $0Z = \{0\}$ не подгруппа?

$\mathbb{Z}_{+} = \{ {x\in \mathbb{Z}: x \ge 0} \}$, не?

[bot]

Doil-byle в сообщении #651080 писал(а):

Так что, как-то особо хитро определить операции не получится.

Да почему же? Берём совершенно произвольную счётную группу (кольцо, поле) и с помощью указанной выше биекции определяем операции на натуральных числах, эта биекция становится просто изоморфизмом. По сути мы просто переименовываем элементы.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Mathusic, а я настроился на $\mathbb Z_{0+} = \{x\in\mathbb Z : x\geqslant0\}$.

[Doil-byle]

arseniiv в сообщении #651098 писал(а):

Doil-byle в сообщении #651080 писал(а):

где $n \in Z_{+}$

Чем же $0Z = \{0\}$ не подгруппа?

Ну, у Бурбаки, например, 0 - положительное число Хотя, я их теорию множеств не читал. А вообще, $\{0\}$ тоже подходит. Можно, конечно, потребовать существование непустого элемента, но это ни к чему.

-- 28.11.2012, 21:10 --

bot в сообщении #651106 писал(а):

Да почему же? Берём совершенно произвольную счётную группу (кольцо, поле) и с помощью указанной выше биекции определяем операции на натуральных числах, эта биекция становится просто изоморфизмом. По сути мы просто переименовываем элементы.

В самом деле, например, с биекцией $2n \rightarrow n,$ $2n+1 \rightarrow -n,$ $n \in N_{0}$ получилось, если я не общитался, $7+4=10,$ $7+5=25$. Но это та же самая группа, так что ждать каких-то чудес типа конечности простых чисел, или ещё чего такого не приходится. Но это я у же не Вам говорю, а прежде всего INGELRII.

[Mathusic]

Doil-byle в сообщении #651110 писал(а):

так что ждать каких-то чудес типа конечности простых чисел, или ещё чего такого не приходится.

А стоит ли ждать такое чудо в принципе? post650953.html#p650953

[Doil-byle]

Вы про рассуждение Евклида по поводу предположения конечности простых чисел? Разумеется, я всё это имею в виду. Я не себе про чудо говорил.

[arseniiv]

Doil-byle в сообщении #651110 писал(а):

Ну, у Бурбаки, например, 0 - положительное число

Сомнительно, чтобы они переделывали так. Натуральное — вполне возможно.

Doil-byle в сообщении #651110 писал(а):

непустого элемента

Ненейтрального тогда.

[Doil-byle]

arseniiv в сообщении #651143 писал(а):

Ненейтрального тогда.

Да, лучше так.

arseniiv в сообщении #651143 писал(а):

Сомнительно, чтобы они переделывали так.

Нашли в ком сомневаться. Почитайте здесь и здесь.

[arseniiv]

Что, они и правда не использовали $<$?

(С первой ссылкой вы точно не перепутали? )