Несобственный интеграл

[Limit79]

$\int_{0}^{1} \frac{\cos(5x) dx}{\sqrt[3]{1-x^4}}$

Пробовал сравнивать: $\frac{\cos(5x)}{\sqrt[3]{1-x^4}} \leqslant \frac{1}{\sqrt[3]{1-x^4}} \leqslant \frac{1}{1-x^4}$ . Но $\int_{0}^{1} \frac{dx}{1-x^4}$ - расходится.

[Sonic86]

А что сделать-то надо? Вычислить?

[ИСН]

Вы что чем оцениваете, и зачем? Этак можно сказать: аналогично, $\frac1{\sqrt[3]x} \leqslant \frac1x$, а $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x}$ - расходится, поэтому про интеграл от первой функции ничего не известно. Но ведь что-то всё-таки известно, да?

[Limit79]

Sonic86
"несобственный интеграл" - исследовать на сходимость.

-- 27.11.2012, 21:39 --

ИСН
Вы имеете ввиду то, что надо оценивать на отрезке $[0;1]$ интервале $[0;1)$ ?

[Sonic86]

Удобно сначала "избавиться" от числителя. Удобно это делать бесконечно малыми в явном или завуалированном виде.

[Limit79]

Sonic86
Первый раз слышу про такой способ, как это будет выглядеть? Или где про это можно почитать?

Про бесконечно малые я понимаю, но не понимаю, как их тут использовать.

[ИСН]

Я ничего не имею в виду. Полагаю, Вам и без нас очевидно, что если дан интеграл по промежутку $[0;1)$, который надо исследовать на сходимость, то таки да, надо его как-то оценивать на промежутке $[0;1)$.

[Limit79]

Кстати говоря, $ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{1-x^4}}$ сходится (к гамма функции).

[ИСН]

Если хотите словесных советов, то вот:
- в какой точке у Вашего интеграла проблемы?
- заменой перенесите эту точку в 0, если так удобнее. или не переносите;
- на что он похож в её окрестности? на какую простую функцию?
- она сходится или нет?
И только потом думаем про оценки.

[Limit79]

ИСН
Так мое сравнение же справедливо и на интервале $[0;1)$ .

[ИСН]

Да-да. Это были советы вообще, на будущее. Здесь они, как я вижу, уже не нужны.

[Limit79]

ИСН
Проблемы в точке $x=1$ .

$f(x) = \frac{\cos(5x) dx}{\sqrt[3]{1-x^4}} $ при $x \to 1$ ... и вот тут не понимаю, как показать, что функция похожа на что-то (наверное нужно использовать бесконечно малые функции).

-- 27.11.2012, 22:00 --

Единственная мысль, которая приходит на ум, в сравнении остановится на: $\frac{\cos(5x)}{\sqrt[3]{1-x^4}} \leqslant \frac{1}{\sqrt[3]{1-x^4}}$

И доказывать сходимость $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{1-x^4}}$ (а он сходится), вот только как это доказать...

А в первообразной для $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{1-x^4}}$ фигурирует спец. функция (гамма функция), значит, первообразную считать не надо, и остается только сравнение, или же не только оно?

[ИСН]

Вы знаете не только то, что он сходится, но и к чему сходится (это здесь даже избыточно) - так какие ещё вопросы?

[Limit79]

ИСН
Так это мат. пакет сказал, что он сходится, вопрос в том, как бы это аналитически доказать.

[Sonic86]

Limit79 в сообщении #650621 писал(а):

И доказывать сходимость $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{1-x^4}}$ (а он сходится), вот только как это доказать...

Примените тот же прием, что и к косинусу.