область сходимости степенного ряда

[ewert]

ex-math в сообщении #650323 писал(а):

И расходимость тоже следует.

Нет.

[bot]

Как это нет? Отношение Даламбера имеет предел бОльший единицы, следовательно модуль общего члена растёт и к нулю не стремится - это в признаке Даламбера есть.

[ewert]

bot в сообщении #650355 писал(а):

Отношение Даламбера имеет предел бОльший единицы, следовательно модуль общего члена растёт и к нулю не стремится - это в признаке Даламбера есть.

В формулировке признака Даламбера не утверждается, что общий член не стремится к нулю -- утверждается лишь расходимость. Кроме того, здесь появляется лишний логический шаг -- апелляция к необходимому условию сходимости; причём, что хуже всего -- апелляция неявная.

Если Вы думаете, что это лишь формальные придирки, то напрасно. Многие студенты именно на этом вполне реально и прокалываются -- на попытках тупо применить признак Даламбера к знакопеременным рядам. Ссылка же на теорему Абеля эту опасность снимает; она вообще сильно дисциплинирует.

Что же до случаев, когда радиус не находится с помощью стандартных пределов, то с трудностями следует бороться по мере их поступления. Т.е. действовать в ручном режиме лишь тогда, когда этого действительно требуют обстоятельства; в стандартных же ситуациях лучше обходиться штатными средствами.

[bot]

(Оффтоп)

bot в сообщении #650355 писал(а):

это в признаке Даламбера есть

Есть расходимость в случае если предел отношения Даламбера больше 1 - разумеется, применённого к ряду из модулей.

ewert в сообщении #650364 писал(а):

Многие студенты именно на этом вполне реально и прокалываются -- на попытках тупо применить признак Даламбера к знакопеременным рядам.

Ах Вы об этом - да, такое встречается, однако не только при непосредственном применении признака, но и при вычислении радиуса по формуле. Я вообще стараюсь придерживатся принципа: поменьше формул - побольше смысла. Тем более, что и нештатных ситуаций можно избежать.

[ewert]

(Оффтоп)

bot в сообщении #650370 писал(а):

Есть расходимость в случае если предел отношения Даламбера больше 1 - разумеется, применённого к ряду из модулей.

В том-то и дело, что ряд не из модулей, и от Даламбера понадобятся ещё два дополнительных логических шага. Студенты же -- "они всё путают: и имя, и название", и эти шаги часто проскакивают, не приходя в сознание. С непредсказуемыми результатами. Например, часто встречается формулировка: "ряд расходится по признаку Лейбница". Ответ при этом остаётся верным; только Лейбниц-то ничего подобного не утверждает!