свойства декартового произведения банаховых пространств

[Venus]

У меня достаточно простой вопрос,но никак не могу сообразить,как доказать
свойства декартового произведения банаховых пространств:
Число лямбда,в дальнейшем,так и буду писать "лямбда")

1) умножение элемента на число
лямбда*(x1,x2)=(лямбда*x1,лямбда*x2)

2)X1 x X2 "изоморфно" X2 x X1

(Тк любому элементу (x1,x2)->(x2,x1)?..)

3)Если X1 "изоморфно" Y1 и X2 "изоморфно" Y2, то X1 x X2 "изоморфно" Y1 x Y2

Вроде как вещи очевидные,но мне очень нужно подробное доказательство....
спасибо

[Capella]

Для второго пункта можно положить так:

Допусим есть два пространства со следующей метрикой:
$(X_1, \rho_1), (X_2,\rho_2)$ Тогда их декартово произведение будет пространством, выполняющее сл свойство:

$ X = X_1 \times X_2$

Теперь, я так мыслю, что для изоморфизма достаточно будет показать равенство их норм. Положив
$ x = (x_1, x_2) \in X, y = (y_1,y_2) \in X$ получается (ввиду второй аксиомы метрики)
$\rho(x,y) = \rho((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = \sqrt {\rho_1^2(x_1,y_1) + \rho_2^2(x_2,y_2)} = \sqrt {\rho_1^2(y_1,x_1) + \rho_2^2(y_2,x_2) } = \rho ((y_1,y_2),(x_1,x_2)) = \rho (y,x) $

[нг]

Venus,
Учитесь записывать формулы при помощи тега math. Это — правило форума (да и Вам $\TeX$ будет еще полезен). Будут затруднения — спрашивайте (ЛС или «работа форума»)

[Brukvalub]

Venus писал(а):

1) умножение элемента на число
лямбда*(x1,x2)=(лямбда*x1,лямбда*x2)

Интересно, какое же тогда определение декартова произведения Вы рассматриваете? Обычно это свойство включается в определение декартова произведения двух векторных пространств, коими обязательно являются Банаховы пространства.

Venus писал(а):

3)Если X1 "изоморфно" Y1 и X2 "изоморфно" Y2, то X1 x X2 "изоморфно" Y1 x Y2

Здесь просто нудно проверяется определение изоморфизма.