область сходимости степенного ряда

[dobryaaasha]

Снова здравствуйте, уважаемые форумчане!

Я ищу область сходимости следующего степенного ряда:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(1-x)^n}{n^2+3}$

Подскажите пожалуйста, правильно ли я рассуждаю?

С помощью признака Даламбера находим интервал сходимости ряда:

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(1-x)^{n+1}(n^2+3)}{(1-x)^n((n+1)^2+3)}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(1-x)}{n^2+2n+4}=\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{n^2(1+3/n^2)}{n^2(1+2/n+4/n^2)})(1-x)=$

$=|1-x|<1$

Записываем интервал сходимости:

$-1<1-x<1$

$0<x<2$

При $x=0$

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1^n}{n^2+3}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2+3}$

Применим признак сравнения. Сравним ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1^n}{n^2+3}$ с рядом $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}$.

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1/n^2}{1/(n^2+3)}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2+3}{n^2}=1$

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1^n}{n^2+3}$ сходится вместе с рядом $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}$.

Теперь надо пояснить, условно или абсолютно сходится этот ряд. Я запуталась в этом...По каким признакам выносится решение об абсолютной или условной сходимости?
Спасибо.

[Sonic86]

Посмотрите определение абсолютной сходимости. Составьте ряд из модулей. Что получилось?

[Whitaker]

Для рядов с положительными членами абсолютная сходимость есть тоже самое, что и сходимость.

[dobryaaasha]

Ряд из модулей:

$1/4; 1/7; 1/12; 1/19...$

Какой тут можно сделать вывод..члены ряда убывают, причем быстрее чем члены сходящегося ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}1/n^2$.

Из этого уже можно сделать вывод об абсолютной сходимости?

[ИСН]

Абсолютная сходимость - это что такое? Что для неё нужно? Оно выполняется?

[Whitaker]

У Вас ряд $\sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2+3}$ сходится. Но ведь ряд из модулей $\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left | \dfrac{1}{n^2+3} \right \vert=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2+3}$ таков же. Значит, ряд абсолютно сходится.

[dobryaaasha]

Whitaker, я поняла. Спасибо.

-- 26.11.2012, 11:03 --

ИСН, я так понимаю, Whitaker уже ответил на Ваш вопрос?

[ИСН]

Да мне вовсе не надо было, чтобы Whitaker отвечал на мой вопрос. Ну да ладно, что уж теперь.

[dobryaaasha]

ИСН, да я понимаю. Но вдруг Вы от меня еще ждете ответа.

[ИСН]

Нет, к Вам я теперь докопаюсь в следующий раз

[dobryaaasha]

[ewert]

dobryaaasha в сообщении #649803 писал(а):

С помощью признака Даламбера находим интервал сходимости ряда:

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(1-x)^{n+1}(n^2+3)}{(1-x)^n((n+1)^2+3)}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(1-x)}{n^2+2n+4}=\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{n^2(1+3/n^2)}{n^2(1+2/n+4/n^2)})(1-x)=$

$=|1-x|<1$

Категорически неверно. Откуда там модуль-то выскочил?

Даже если вы глубоко предчувствуете ответ -- глубизна сама по себе не есть аргумент. Надо всё-таки задумываться над непринуждённо выпархивающими из-под пальчиков буковками. Иначе все доказательства того, что дважды два четыре, начнут сводиться к тому, что "поскольку овсянка". -- А почему овсянка? -- А вот вчера овсянка на завтрак была, так как раз четырём дважды два и вышло...

Если серьёзнее, то признак Даламбера там просто идеологически малоуместен, там надо использовать понятие радиуса сходимости. Но раз уж захотелось покустарничать -- и кустарничать желательно всё-таки грамотно.

[bot]

ewert в сообщении #650093 писал(а):

кустарничать желательно всё-таки грамотно

Непосредственно искать интервал сходимости по признаку Даламбера или радикальному это кустарщина? Я вот, напротив, предлагаю студентам для нахождения радиуса и интервала сходимости использовать непосредственно признаки Даламбера и Коши - это логически проще, лишний раз (а это отнюдь не лишне) показывает откуда растут ноги этого ркадиуса и, кроме того, минуются случаи, когда радиус полученный из признака Даламбера, формально не вычисляется - я имею в виду ряды со многими нулевыми членами.
Вот модуль при этом не забывать - это да.

[ewert]

bot в сообщении #650315 писал(а):

лишний раз (а это отнюдь не лишне) показывает откуда растут ноги этого ркадиуса

Вот именно что лишний раз. И при этом: расходимость ряда при $|x-1|>1$ -- она тоже из Даламбера следует, да?...

[ex-math]

И расходимость тоже следует.