Субгармонические функции

[Padawan]

Пусть, $u$, $v$ -- непрерывные субгармонические функции в области $D\subset\mathbb R^n$. Доказать, что при $p\geqslant 1$ функция $(|u|^p+|v|^p)^{\frac{1}{p}}$ тоже субгармонична в $D$.

Функция $u$ в области $D\subset \mathbb R^n$ называется субгармонической, если для любой точки $x\in D$ существует $\delta>0$ такое, что для любого $r<\delta$ выполнено неравенство

$$ u(x)\leqslant \frac{1}{\mu B(x,r)}\int_{B(x,r)} u(t)d\mu(t)\; \; , $$

где $B(x,r)=\{t\in\mathbb R^n\mid |x-t|\leqslant r\}$ -- шар с центром в точке $x$ радиуса $r$, $\mu$ -- мера Лебега.

[sup]

Пусть $\varphi(a,b)$ -выпуклая функция двух аргументов $a,b$.Тогда имеет место неравенство

$$\varphi(u,v) \geqslant \varphi(a,b) + \varphi_a(a,b)(u-a) + \varphi_b(a,b)(v-b)$$

Предположим, что для всех $a,b$
$ \varphi_a(a,b) \geqslant 0$ и $ \varphi_b(a,b) \geqslant 0$.
Тогда для субгармонических $u,v$ функция $\varphi(u,v)$ тоже субгармоническая. (Достаточно проинтегрировать неравенство по малому шару и выбрать подходящие $a,b$).

[Padawan]

sup
$a=u(x)$, $b=v(x)$, интегрируем по шару (по $t$) ?
Хорошее доказательство!

А я из неравенства Иенсена исходил, там дифференцируемость не нужна, только выпуклость и возрастание по каждому аргументу. Хотя Ваше доказательство тоже можно подправить, используя вместо касательной опорную плоскость.

Кстати, если $u,v$ -- гармонические, а $\varphi(a,b)$ -- выпуклая (без дополнительных условий), то $\varphi(u,v)$-- субгармоническая.

[sup]

Нуууууууууууу, скажем так, я хотел только лишь идею предъявить . А вообще, это известный прием: заменять выпуклую функцию "линейным" неравенством с параметром. Потрясающий пример - работа Кружкова о существовании и единственности разрывных решений квазилинейных уравнений.