Определенный интеграл

[Limit79]

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^3(x)}{\sqrt[3]{\sin(x)}} dx$

Не могу понять, что занести под дифференциал, или же какую сделать замену.

Подскажите, пожалуйста.

[cool.phenon]

Разделите косинус на 2 части - одну с квадратом, вторую - просто косинус. Вторую под дифференциал...

[Limit79]

cool.phenon
А потом $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$ .

Получилось,спасибо, но блин, такое кривое значение в итоге...

[Dan B-Yallay]

Limit79 в сообщении #650244 писал(а):

cool.phenon
А потом $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$ .

Получилось,спасибо, но блин, такое кривое значение в итоге...

Пределы интегрирования не забыли поменять? Если не забыли - то что уж есть.

[Limit79]

Dan B-Yallay
А зачем их менять? Мы же не вводим новую переменную.

[ИСН]

А что Вы тогда называете внесением под дифференциал?

[cool.phenon]

Limit79
Здесь это тоже принципиально.Пределы тоже нужно менять

[ИСН]

хотя да, можно до упора тащить за собой $d(\sin x)$, да так и подставлять.

[Limit79]

ИСН
Фактически та же замена переменной.

То есть:

$t_{1} = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$

$t_{2} = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

-- 27.11.2012, 02:08 --

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^3(x)}{\sqrt[3]{\sin(x)}} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2(x) \cos{x}}{\sqrt[3]{\sin(x)}} dx$

$t=\sin{x}$

$dt = \cos{x} dx$

$t^2 = {\sin^2{x}} = 1 - {\cos^2{x}}$, то есть $\cos^2{x} = 1 - t^2$

$t_{1} = \sin{-\frac{\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$t_{2} = \sin{-\frac{\pi}{2}} = -1$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2(x) \cos{x}}{\sqrt[3]{\sin(x)}} dx = \int_{-1}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1-t^2}{\sqrt[3]{t}} dt$