Изопереметрическая задача

[pmlisky]

Здравствуйте.
Возникла проблема с решением следующей задачи.
Найти экстремумы функционала:
$J[y]=\int^{1}_{0}(y'^{2}-y-y^2)e^{2x}dx$, $y(0)=0$, $y(1)=e^{-1}$ при $3=\int^{1}_{0}(y'^{2}+y^2)dx$.

Как я понимаю, сначала нужно составить вспомогательный функционал:
$L[y]=\int^{1}_{0}((y'^{2}-y-y^2)e^{2x}+\lambda(y^2+y'^{2}))dx$.
Далее выписывается уравнение Эйлера (и вот здесь я сомневаюсь):
$-\frac{d}{dx}(2y'^2e^{2x}+\lambda2y')-e^{2x}-2ye^{2x}+\lambda2y=0$

Может быть я тут где-то ошибся? А то непростое уравнение получается

[ИСН]

А? Какая задача? Изо-чего?

[Dan B-Yallay]

ИСН
Есть такое понятие - переметер. Правда, что означает, никому неизвестно.

[pmlisky]

Эх... нельзя в теме исправить очепятку?

[ИСН]

Хрен с ней, с опечаткой. Я понял, что имелась в виду изопериметрическая. Я не понял, каким боком это именно она.

[pmlisky]

Разве не соответствует определению? Могу ссылку дать.

[ИСН]

Не надо ссылку, скажите своими словами.

[pmlisky]

Нужно найти экстремум функционала при граничных условиях и дополнительном ограничении-равенстве.

[ИСН]

А, Вы в таком широком смысле... Я думал, изопериметрическая - это только когда фиксирована некая длина дуги (что бы это ни значило).

[pmlisky]

Да, длина дуги фиксирована. И нужно найти, например, такую фигуру, чтобы её площадь в этой фиксированной дуге была максимальна

... как-то странно я говорю опять

[ИСН]

Что "да"? Где у Вас здесь длина дуги?

[pmlisky]

Длина дуги, я думаю, 3

[ИСН]

-- Пн, 2012-11-26, 20:53 --

Я неточно сформулировал. Какой интеграл, по-Вашему, описывает длину дуги?

[pmlisky]

Длину дуги описывает криволинейный интеграл первого рода, вроде бы так!

Но у меня другой вопрос в этой теме. Правильно ли я составил лагранжиан и уравнение Эйлера?

[ИСН]

Если задача изопериметрическая, то в ней (в том числе, и в лагранжиане) должна присутствовать длина дуги. Где она у Вас?