Производная функции

[Leox]

Пусть задана функция

$$ F(x)=\max(f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x)), $$

и все функции $f_i(x)$ диференцируемые на $[a,b].$ Можно ли утверждать что функция $F(x)$ также имеет производную на $[a,b]$ и что ета производная равна

$$ F'(x)=\max(f'_1(x),f'_2(x),\ldots,f'_n(x))? $$

[Nimza]

$|x| = \max \{x,-x\}$

[Leox]

спасибо

[Nimza]

Но если что, есть теорема для производной по направлению.

[alcoholist]

Nimza в сообщении #649185 писал(а):

Но если что, есть теорема для производной по направлению

по направлению вправо, или влево?

[Nimza]

alcoholist в сообщении #649196 писал(а):

по направлению вправо, или влево?

чем богаты, тем и рады.

А вообще, конечно, теорема справедлива и в многомерном случае. И даже когда максимум берётся не только по конечному набору функций, но по и любому набору, проиндексированному компактом метрического пространства.

[Leox]

Nimza в сообщении #649185 писал(а):

Но если что, есть теорема для производной по направлению.

и что, как ее применить к функции заданной таким образом?

[ewert]

Leox в сообщении #649312 писал(а):

и что, как ее применить к функции заданной таким образом?

Никак, и дело даже не в возможном нарушении гладкости. С какой вообще стати упорядоченность функций хоть как-то связана с упорядоченностью их производных?...

[Nimza]

ewert в сообщении #649317 писал(а):

Никак, и дело даже не в возможном нарушении гладкости. С какой вообще стати упорядоченность функций хоть как-то связана с упорядоченностью их производных?...

В случае производных по направлению максимум надо брать только по тем индексам, на которых достигается максимум самой функции. Точнее, теорема такая:

Если $\Omega$ область в евклидовом пространстве, $M$ метрический компакт, $f(x,y)$ функция на $\Omega \times M$, непрерывная вместе с производными по иксам, то в любой точке $x$ производная по любому направлению $v$ существует и:

$$ \frac{\partial \max_{y} f(x,y)}{\partial v} = \max\limits_{y \in \mathrm{Argmax}_{y}f(x,y)} \frac{\partial f(x,y)}{\partial v}} $$

Если множество индексов дискретно и конечно, то оно очевидно компактно в дискретной топологии, то есть теорема работает.

[Leox]

ewert в сообщении #649317 писал(а):

Leox в сообщении #649312 писал(а):

и что, как ее применить к функции заданной таким образом?

Никак, и дело даже не в возможном нарушении гладкости. С какой вообще стати упорядоченность функций хоть как-то связана с упорядоченностью их производных?...

дело в не упорядочении. Мне кажется что формула

$$ F'(x)=\max(f_1'(x),f_2'(x),\ldots, f_n'(x)) $$

неверна в принципе.

[Nimza]

Она неверна. Я уже показывал пример. Зато для производных по направлению можно пользоваться указанной выше (здесь это правая и левая производные).

[Leox]

Я понял, что неверна так как функции $f_i$ склеиваются негладко и такая функция получается недифференцируема. А если, предположим, склеили гладко, что тогда, формула правильная?

[Nimza]

$x = \max \{ x, 2x - 100\}$ при $x \in (0,1)$.

[Leox]

Елегантно :)