СТО. Задача про ускоренную ракету.

[oleg_2]

Домосед остался на Земле. Близнец-космонавт улетел в равноускоренной ракете.
$t$ - время на часах, которые находятся рядом с домоседом.
$\tau$ - время в СО космонавта.
Нужно найти зависимость $t=f(\tau)$.
Под $\tau$ понимаю время в Мговенно Сопутствующей ИСО (МСИСО) космонавта.

Попытка решения.

Обозначения:
Все величины в метрах и световых метрах.
$x'$, $dx'$ -координата и ее приращение в СО и МСИСО ракеты.
$\beta$ -скорость.
$\Theta$ -параметр скорости $\beta=\th(\Theta)$.
$a$ -собственное ускорение.

$\Theta=a\tau, \eqno{(1)}$ -формула параметра скорости, есть в Тейлор-Уилер
$dx'=\th(\Theta)d\tau, \eqno{(2)}$ -формула приращения, есть похожая в Тейлор-Уилер
$t=-x'\sh(\Theta) + t'\ch(\Theta), \eqno{(3)}$ -формула Лоренца (неподвижной считается штрихованная ИСО)

Запишем формулу Лоренца для малых приращений:
$dt= -dx'\sh(\Theta) + \ch(\Theta)d\tau, \eqno{(4)}$
Подставим (2) в (4):
$dt= -\th(\Theta)\sh(\Theta)d\tau + \ch(\Theta)d\tau, \eqno{(5)}$

Далее предполагал проинтегрировать и получить формулу $t=f(\tau)$.
Интеграл
$\int \th(\Theta)\sh(\Theta)d\tau$
взять если и возможно, то нелегко для меня.
И главный вопрос - верно ли выражение (5)?

[oleg_2]

Нашел подходящие формулы, проинтегрировал.
Знак минус у первого слагаемого в (5) сменил на плюс, т. к. домосед удаляется
в отрецательную сторону. Знак ускорения оставил положительный.
$\int \th(\Theta)\sh(\Theta)d\tau=\int\frac{\sh^2(a\tau)}{\ch(a\tau)}d\tau=, \eqno{(6)}$
$=\frac 1a \sh(a\tau)+\frac 2a \arctg(e^{a\tau}), \eqno{(7)}$
$t=\frac 2a \sh(a\tau)+\frac 2a \arctg(e^{a\tau}), \eqno{(8)}$

Получилось плохо. При малом $(a\tau)$ (скорости) должно быть $t=\tau$.
Формула $\frac{a}{c}t=\sh \frac{a}{c}\tau$, которую привела Алия87, для ИСО домоседа,
в ней это условие выполняется.
В моей формуле получилось $t=2\tau$, это если еще скомпенсировать
$\frac 2a \arctg(e^{a\tau}) = \frac 2a \arctg(e^{0})$
подходящей константой $C$.

[oleg_2]

Вот формула интегрирования:
$\int\frac{\sh^m cx}{\ch^n cx}dx=\frac{\sh^{m-1}cx}{c(m-n)\ch^{n-1}cx}+\frac{m-1}{m-n}\int\frac{\sh^{m-2}cx}{\ch^ncx}dx$, ($m$ не равно $n$)
Я принял $\sh^{m-2}cx=\sh^{0}cx=1$

[oleg_2]

Пусть за время $d\tau$ по часам СО ракеты домосед сместился в СО ракеты на $dx'$,
и при этом часы домоседа увеличили показание на $dt$.
Из старого решения возьмем:
$\Theta=a\tau, \eqno{(1)}$ -формула параметра скорости, есть в Тейлор-Уилер
$dx'=\th(\Theta)d\tau, \eqno{(2)}$ -формула приращения, есть похожая в Тейлор-Уилер
Напишем интервал:
$(dt)^2=(d\tau)^2-(dx')^2=, \eqno{(9)}$
$=(d\tau)^2-(\th(\Theta)d\tau)^2=, \eqno{(10)}$
$=(d\tau)^2(1-\th^2(\Theta)), \eqno{(11)}$
Отдельно посчитаю правую скубку
$(1-\th^2(\Theta))=1-\frac{\sh^2(\Theta)}{\ch^2(\Theta)}=, \eqno{(12)}$
$=\frac{\ch^2(\Theta) - \sh^2(\Theta)}{\ch^2(\Theta)}=\frac{1}{\ch^2(\Theta)}, \eqno{(13)}$
Подставляю в выражение для $(dt)^2$
$(dt)^2=(d\tau)^2\frac{1}{\ch^2(\Theta)}, \eqno{(14)}$
$dt=\sqrt{(d\tau)^2\frac{1}{\ch^2(\Theta)}}, \eqno{(15)}$
$dt=\frac{1}{\ch(\Theta)}d\tau, \eqno{(16)}$
$t=\int\frac{1}{\ch(\Theta)}d\tau=\frac 2a \arctg(e^{a\tau}), \eqno{(17)}$

-- 25.11.2012, 10:41 --

Вот предполагаемый график времени к задаче близнецов.
Движение ракеты ускоренное, инерционного участка нет.
В точке $A$ меняет направление движения на обратное.
Время в СО ракеты $\tau$ на графике обозначено $t'$.
Зеленая кривая - показания часов ракеты в ИСО домоседа.
Оранжевый тонкий график - предполагаемая зависимость показаний
часов домоседа в СО ракеты, которая СО есть последовательность
мнгновенно сопутствующих ИСО (МСИСО) ракеты.


Обратите внимание, на ускоренном участке от $0$ до $t_1'$ показания
часов домоседа в СО ракеты нарастают медленно (оранжевый), а на
участке торможения от $t_1'$ до $t_2'$ быстро. Я ожидал, что в
формуле будет нечто, которое при смене знака ускорения даст
сильный прирост времени домоседа.
Насчет $t=\tau$ при малой скорости пока не разобрался, но сомнительно.
Может кто-нибудь укажет ошибку.

[Munin]

Вы не ту величину интегрируете.

Вот то, что соответствует вашему расчёту, формулам (2) и (4), они эквивалентны позже полученной (16):



А вот что на самом деле надо рассчитывать:

[oleg_2]

Спасибо, Munin.

Я понял так, что не выявлена смена МСИСО.

[Munin]

Да. И заодно здесь появится зависимость от расстояния.