гладкость функции

[daedra]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться.
Необходимо доказать, что следующая функция является гладкой (бесконечного порядка гладкости):

$$ f(x)=\begin{cases} \exp(\frac{1}{x^2-1}),&\text{если $\left|x\right|<1$;}\\ 0,&\text{если $\left|x\right|\geqslant 1$;} \end{cases} $$

Решать не надо, просто наведите на мысль. Пытался вычислять производные, и тем самым вывести общую формулу для $n$-ой производной, но ничего из этого не вышло.

[cool.phenon]

Конкретная формула здесь громоздкая. Можно проще - в результате будет некоторый многочлен, умноженный на экспоненту. Мы можем вычислить производную, то есть, производная многочлена на экспоненту плюс производную экспоненты на многочлен. И, что самое главное, тоже получим в сумме многочлен на экспоненту. Обе они непрерывны при любых значениях переменной. Осталось только показать, что $f\left(x\right)$ - непрерывна в $x=1$
Другими словами, доказывается всё по индукции.

[daedra]

Ясно. А не нужно ещё доказывать, что получаемая производная экспоненты с многочленом при $\left|x\right|\rightarrow 1$ стремится к нулю?

[cool.phenon]

Ну это нужно показать только в самом начале. Многочлен всегда непрерывен. А произведение непрерывных функций непрерывно.

[daedra]

Спасибо, cool.phenon!

[alcoholist]

cool.phenon в сообщении #648999 писал(а):

в результате будет некоторый многочлен, умноженный на экспоненту

не многочлен... рациональная функция