2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Несобственный интеграл
Сообщение24.11.2012, 16:09 


29/08/11
1759
$\int_{0}^{\infty} \frac{x dx}{\sqrt{x^5+1}}$

Он неберущийся, поэтому необходимо его с чем-то сравнить.

Единственное, что приходит на ум, это что $\frac{x}{\sqrt{x^5+1}}\leq \frac{x^4}{\sqrt{x^5+1}}$, но $\int_{0}^{\infty} \frac{x^4}{\sqrt{x^5+1}}$ - расходится, поэтому нам это ничего не дают.

Подскажите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение24.11.2012, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
Limit79 в сообщении #648936 писал(а):
Он неберущийся, поэтому необходимо его с чем-то сравнить.

Единицу выкиньте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение24.11.2012, 16:16 


29/08/11
1759
мат-ламер

$\frac{x}{\sqrt{x^5+1}}\leq \frac{x}{\sqrt{x^5}}$, но $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{x^5}}$ - расходится, поэтому нам это не о чем не говорит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение24.11.2012, 16:19 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
А если нижний предел будет не от нуля, а от единицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение24.11.2012, 16:19 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Limit79
предлагаю Вам разбить интеграл на два интеграла например $$\int \limits_{0}^{1}+\int \limits_{1}^{+\infty}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение24.11.2012, 16:24 


29/08/11
1759
Whitaker
Разбил на два, но эти два на сходимость тоже надо исследовать (если сходятся оба - сходится исходный, если расходится хотя бы один - расходится исходный), но подынтегральное выражение же не изменилось...

-- 24.11.2012, 17:26 --

Whitaker
А с первым как быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение24.11.2012, 16:28 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Limit79
Если я нигде не накосячил, то первый интеграл можно оценить сходящимся так как $0\leqslant\dfrac{x}{\sqrt{x^5+1}}\leqslant 1$ при $x\in [0,1]$$$\int \limits_{0}^{1}1dx=\int \limits_{0}^{1}dx=1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение24.11.2012, 16:30 


29/08/11
1759
Whitaker
А может тогда проще вот так? $\frac{x}{\sqrt{x^5+1}} \leq x$

-- 24.11.2012, 17:33 --

А вообще исходный сходящийся, сходится к произведению гамма функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение24.11.2012, 16:33 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Ваш интеграл берётся и равен $\frac{2 \Gamma \left(\frac{2}{5}\right) \Gamma \left(\frac{11}{10}\right)}{\sqrt{\pi
   }}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение24.11.2012, 16:34 


29/08/11
1759
Aritaborian
Это понятно, я имел ввиду про элементарные функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение24.11.2012, 16:34 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Limit79
Неважно как оценивать! Мы оценили первый интеграл сходящимся интегралом. Значит, он тоже сходится и все! Теперь надо работать со вторым.
P.S. Согласен с Aritaborian! Этот интеграл берется ведь.
Значит, он сходится. Зачем Вам его исследовать на сходимость если у него итак есть уже конкретное численное значение. А так если Вы хотите исследовать на сходимость то разбиваете на два интеграла и с каждым из них работаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение24.11.2012, 16:38 


29/08/11
1759
Whitaker
$\frac{x}{\sqrt{x^5+1}} \leq \frac{x}{\sqrt{x^5}} = \frac{x}{x^{\frac{5}{2}}} = x^{-\frac{3}{2}}$, а $\int_{1}^{\infty} x^{-\frac{3}{2}}dx$ - сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение24.11.2012, 16:40 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Limit79 в сообщении #648965 писал(а):
Whitaker
$\frac{x}{\sqrt{x^5+1}} \leq \frac{x}{\sqrt{x^5}} = \frac{x}{x^{\frac{5}{2}}} = x^{-\frac{3}{2}}$, а $\int_{1}^{\infty} x^{-\frac{3}{2}}dx$ - сходится.
Да верно все! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение24.11.2012, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18003
Москва
Whitaker в сообщении #648959 писал(а):
Мы оценили первый интеграл сходящимся интегралом.
Это который от $0$ до $1$? А чего ради его оценивать? Подынтегральная функция непрерывна на $[0;1]$, так что это обычный определённый интеграл в смысле Римана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение24.11.2012, 16:42 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Someone
Согласен с Вами! Просто я ТС показал как это делается, а так Вы правы! :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group