Гильбертово пространство vs топологическое произведение

[outmind]

В Хаусдорфе "Теория множеств", стр. 107-109, даны определения топологического произведения
$\aleph_0$ множеств $R_m$ по Тихонову, т.е. окрестность точки $x_i$ состоит из таких кортежей-точек в которых конечное число элементов лежат в окрестностях $y_i \in U(x_i)$, а остальные элементы произвольны.

После этого дается определение гильбертова пространства и написано:
"Легко заметить, что гильбертово пространство, рассматриваемое как топологическое пространство не совпадает с топологическим произведением по Тихонову."

Как это можно легко заметить? Получилось заметить, что в гильбертовом произведении по определению входят лишь точки, сумма координат которых сходится, а в топологическом произведении могут быть точки в которых такая сумма не сходится. Но возникает ощущение, будто это не то, что нужно было заметить на самом деле. Помогите пожалуйста!

[xmaister]

outmind в сообщении #648926 писал(а):

гильбертово пространство, рассматриваемое как топологическое пространство

А какое там дано определение гильбертова пространства?

outmind в сообщении #648926 писал(а):

окрестность точки $x_i$ состоит из таких кортежей-точек в которых конечное число элементов лежат в окрестностях $y_i \in U(x_i)$

Я не совсем понял, что здесь написано. Есть же определение топологии тихоновского произведения. Это топология, порожденная предбазой $\mathscr{P}=\{p_i^{-1}(U_i)|i\in\mathbb{N}\}$.

[g______d]

Например, потому что в бесконечномерном гильбертовом пространстве (например, $l_2(\mathbb N)$) куб $[-1;1]^{\mathbb N}$ не компактен, а в произведении по Тихонову компактен.

[outmind]

Гильбертово пространство $R^\infty$... произведение $\aleph_0$ множителей $R^1$. Точками пространства являются всевозможные такие комплексы действительных чисел $x=(x_1,x_2,...,x_n,...)$, что ряд $\sum\limits_1^\infty x_n^2$ сходится. Метрика в множестве $R^\infty$:

$\varrho(x,y)=\sqrt{\sum\limits_1^\infty (x_i-y_i)^2}$

-- Сб ноя 24, 2012 16:25:35 --

g______d в сообщении #648943 писал(а):

Например, потому что в бесконечномерном гильбертовом пространстве (например, $l_2(\mathbb N)$) куб $[-1;1]^{\mathbb N}$ не компактен, а в произведении по Тихонову компактен.

Это похоже на то, что я пытался рассматривать точку {1,1,...1,...}, которая не является точкой гильбертова пространства, но намного осмысленнее. Спасибо g___d!
А можешь еще один примерчик? И какие вообще бывают метрики на бесконечномерном пространстве?
Спасибо!

-- Сб ноя 24, 2012 16:27:29 --

Я не совсем понял, что здесь написано. Есть же определение топологии тихоновского произведения. Это топология, порожденная предбазой $\mathscr{P}=\{p_i^{-1}(U_i)|i\in\mathbb{N}\}$.

Такое ощущение, будто в Вашем определении берутся окрестности по всем осям, что странно - по крайней мере не совпадает с определением в книге.

[g______d]

outmind в сообщении #648947 писал(а):

Гильбертово пространство $R^\infty$... произведение $\aleph_0$ множителей $R^1$. Точками пространства являются всевозможные такие комплексы действительных чисел $x=(x_1,x_2,...,x_n,...)$, что ряд $\sum\limits_1^\infty x_n^2$ сходится. Метрика в множестве $R^\infty$:

$\varrho(x,y)=\sqrt{\sum\limits_1^\infty (x_i-y_i)^2}$

В этой фразе есть некая путаница. Сначала говорится, что это произведение, а потом --- что там не все последовательности, а только суммируемые с квадратом. $l_2$ можно получить как произведение экземпляров вещественной прямой, но это будет не обычное произведение, а гильбертово тензорное произведение, и такие вещи уж точно надо уточнять.

outmind в сообщении #648947 писал(а):

А можешь еще один примерчик? И какие вообще бывают метрики на бесконечномерном пространстве?
Спасибо!

Ну это слишком общий вопрос. Можно сказать, что любой учебник функционального анализа посвящен (в большой степени) ответу на него. Начните с пространств $l_p$ в качестве примеров.

outmind в сообщении #648947 писал(а):

Я не совсем понял, что здесь написано. Есть же определение топологии тихоновского произведения. Это топология, порожденная предбазой $\mathscr{P}=\{p_i^{-1}(U_i)|i\in\mathbb{N}\}$.

Такое ощущение, будто в Вашем определении берутся окрестности по всем осям, что странно - по крайней мере не совпадает с определением в книге.

Вроде, определение правильное. Должна быть слабейшая топология, в которой все проекции непрерывны.

Кстати, верен такой факт: топологическое произведение $[0;1]^{\mathbb N}$ гомеоморфно $\prod\limits_{n=1}^{\infty}[0;\frac{1}{2^n}]$ с топологией из $l_2$.

[outmind]

Касательно определений - вот кусочки книги:
Определение произведения по Тихонову

и гильбертова пространства

с метрикой как написано в первом посте.

[g______d]

Ну да. В первом определении в точности повторяется определение топологии из постов выше. Надо только вспомнить, как строится топология по предбазе: надо брать все возможные объединения конечных пересечений элементов предбазы. Конечные пересечения элементов предбазы (т. е. множеств вида $\pi^{-1}(U)$) --- это и есть окрестности, описанные в первом цитированном фрагменте.

Второй фрагмент относится не к топологическому, а к метрическому произведению. В случае конечного количества множителей топология на метрическом произведении совпадает с топологией на топологическом произведении. А в случае бесконечного количества множителей нет какого-то выделенного определения метрического произведения. В качестве примера приведено $l_2$, но это не единственный способ (и, кроме того, не являющийся декартовым произведением в смысле множества точек, в отличие от топологического произведения).

В общем, сравните Вашу цитату

outmind в сообщении #648947 писал(а):

Гильбертово пространство $R^\infty$... произведение $\aleph_0$ множителей $R^1$. Точками пространства являются всевозможные такие комплексы действительных чисел $x=(x_1,x_2,...,x_n,...)$, что ряд $\sum\limits_1^\infty x_n^2$ сходится. Метрика в множестве $R^\infty$:

с текстом из книги.