Преобразование Абеля

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!

Теорема: Пусть $\lambda_1\leqslant \lambda_2 \leqslant \lambda_3\leqslant \dots$ - последовательность вещественных чисел, такая, что $\lambda_n \to \infty$ при $n\to \infty$. Пусть $(a_n)_{n\geqslant 1}$ - последовательность комплексных чисел. Пусть, далее,

$$A(x)=\sum \limits_{\lambda_n \leqslant x}a_n,$$

$\varphi(x)$ - комплекснозначная функция, определенная при $x\geqslant 0$. Тогда

$$\sum \limits_{n=1}^{k}a_n\varphi(\lambda_n)=A(\lambda_k)\varphi(\lambda_k)-\sum \limits_{n=1}^{k}A(\lambda_n)(\varphi(\lambda_{n+1})-\varphi(\lambda_{n}))$$

Объясните пожалуйста, что тут вообще обозначает $A(x)$ и как в нем идет суммирование?
Например, что такое $A(\lambda_1)$ и $A(\lambda_2)$?
Что-то я не могу понять.

[alcoholist]

Whitaker в сообщении #648720 писал(а):

$$A(x)=\sum \limits_{\lambda_n \leqslant x}a_n,$$

это

$$ A(x)=\sum_{n:\lambda_n\le x}a_n $$

Таким образом

Whitaker в сообщении #648720 писал(а):

$A(\lambda_1)$ и $A(\lambda_2)$

будут равны $a_1$ и $a_1+a_2$ соответственно

[Whitaker]

alcoholist
Спасибо Вам!
Просто сразу что-то не понял

[Whitaker]

Доказательство: Положим $A(\lambda_0)=0$. Тогда мы имеем

$$\sum \limits_{n=1}^{k}a_n\varphi(\lambda_n)=\sum \limits_{n=1}^{k}(A(\lambda_n)-A(\lambda_{n-1}))\varphi(\lambda_n)=A(\lambda_k)\varphi(\lambda_k)-\sum\limits_{n=1}^{k-1}A(\lambda_n)(\varphi(\lambda_{n+1})-\varphi(\lambda_{n}))$$

Это мне понятно. Но вот со вторым пунктом возник вопрос.
Пусть $k$ - наибольшее целое число, такое, что $\lambda_k\leqslant x$. Так как $\varphi$ имеет непрерывную производную $\varphi'$, то:

$$\sum\limits_{n=1}^{k-1}A(\lambda_n)(\varphi(\lambda_{n+1})-\varphi(\lambda_{n}))=\sum \limits_{n=1}^{k-1}A(\lambda_n)\int \limits_{\lambda_n}^{\lambda_{n+1}}\varphi'(t)dt,$$

а так как $A(t)$ - ступенчатая функция, постоянная в интервале $\lambda_k\leqslant t <\lambda_{k+1}$, то

$$A(\lambda_k)\varphi(\lambda_k)=A(x)\varphi(x)-\int \limits_{\lambda_k}^{x}A(t)\varphi'(t)dt$$

Таким образом,

$$\sum \limits_{\lambda_n\leqslant x}a_n\varphi(\lambda_n)=A(x)\varphi(x)-\int\limits_{\lambda_1}^{x}A(t)\varphi'(t)dt$$

Главный вопрос, который я не понимаю такой: Почему верно равенство следующее равенство?

$$A(\lambda_n)\int_{\lambda_n}^{\lambda_{n+1}}\varphi'(t)dt=\int_{\lambda_n}^{\lambda_{n+1}}A(t)\varphi'(t)dt$$

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #648781 писал(а):

Главный вопрос, который я не понимаю такой: Почему верно равенство следующее равенство?

$$A(\lambda_n)\int_{\lambda_n}^{\lambda_{n+1}}\varphi'(t)dt=\int_{\lambda_n}^{\lambda_{n+1}}A(t)\varphi'(t)dt$$

Ну просто потому, что

Whitaker в сообщении #648720 писал(а):

$$A(x)=\sum \limits_{\lambda_n \leqslant x}a_n,$$

- ступенчатая функция. Левую Правую часть представьте в виде суммы по возможным значениям $A(t)$.