Доказать, что функция - константа.

[Sul]

Довольно интересная задача: требуется доказать, что непрерывная функция на всей прямой, имеющая в каждой точке экстремум, является постоянной. С виду кажется легкой, но быстро не дается. К слову, случай, когда в каждой точке максимум, или же минимум (локальный) - доказан, и если для общего случая эти понадобятся, то я могу написать решение. Но как быть с общим не очень понятно. Дадите подсказку?

[Sonic86]

Как мы вычисляем локальные экстремумы непрерывной функции?

[Sul]

Точка экстремума - в некоторой окрестности которой все значения функции нестрого больше (меньше). Но что значит вычислить? Если Вы про производную, то во-первых про дифференцируемость ничего не сказано, да и вообще нуль производной бывает далеко не только в экстремумах. И по-хорошему эту задачу надо решить без них.
Пока ничего больше насчет вычисления экстремумов не пришло.

[Sonic86]

Sul в сообщении #648699 писал(а):

Если Вы про производную, то во-первых про дифференцируемость ничего не сказано

Да, тогда я ошибаюсь.

Sul в сообщении #648699 писал(а):

нуль производной бывает далеко не только в экстремумах.

Это как раз не проблема, если предполагать дифференцируемость. Но уже ладно...

[cool.phenon]

Мне кажется, что здесь сработает определение экстремума: значение в точке не превосходит значения в некоторой окрестности, либо не меньше значения в точке. И еще как-то нужно прицепить локальное свойство сохранения знака,используя доказательство от противного. Попробуйте; я, конечно, не пробовал этот метод, но должно выйти.

[Sul]

Быть может, кого-то на правильные мысли натолкнет разбор случая, когда у нас в каждой точке максимум, так что я напишу его разбор: Итак, пусть в каждой точке на некотором отрезке у непрерывной функции достигается локальный максимум. Функция, непрерывная на отрезке, достигает своей точной верхней и нижней грани множества значений. Тогда рассмотрим точку из отрезка, в которой достигается глобальный минимум. Это означает, что на самом деле в любой точке отрезка значения функции будут нестрого больше. Но так как она по условию локальный максимум, то в некоторой окрестности, пересеченной с заданным отрезком, все значения функции нестрого меньше. Отсюда следует, что в некоторой окрестности, пересеченной с отрезком, все значения функции равны глобальному минимуму.
Несложно доказать, что множество всех точек, в которых непрерывная функция равна заданному числу является замкнутым. В нашем же случае это множество будет замкнутым лишь тогда, когда отрезок полностью содержится в нашей окрестности (иначе оно может быть открытым или вообще полуинтервалом). Отсюда следует, что на всем отрезке значения функции равны глобальному минимуму, то есть константе.

Для локальных минимумов - аналогично. А вот как их совместить?

-- 23.11.2012, 23:03 --

По факту единственный случай для разбора: когда все точки, в которых достигается глобальный максимум являются точками локального максимума, и все точки, в которых достигается глобальный минимум являются точками локального минимума

[Sul]

Пока никаких продвижений...

[alcoholist]

Sul в сообщении #648691 писал(а):

имеющая в каждой точке экстремум

докажите в лоб, что функция локально постоянна

[muzeum]

Вся вещественная ось разбивается на два множества: А - локальных максимумов и В - локальных минимумов.
Каждой точке из А соответствует окрестность с рациональными концами, где она, эта точка, дает максимум. Если двум точкам из А соответствует одна окрестность, то в этих точках значения одинаковы.
Вывод: данная функция имеет не более чем счетное множество значений. Она не может быть непрерывной, если имеет хотя бы два различных значения.

[muzeum]

muzeum в сообщении #648853 писал(а):

Вся вещественная ось разбивается на два множества: А - локальных максимумов и В - локальных минимумов.
Каждой точке из А соответствует окрестность с рациональными концами, где она, эта точка, дает максимум. Если двум точкам из А соответствует одна окрестность, то в этих точках значения одинаковы.
Вывод: данная функция имеет не более чем счетное множество значений. Она не может быть непрерывной, если имеет хотя бы два различных значения.

Слово "разбивается" не очень удачно. Имеется ввиду - является объединением двух множеств. А далее доказывается, что образ каждого из множеств не более чем счетен.

[Sul]

Я сегодня узнал решение, и Ваше действительно очень похоже на правду, потому что сегодня мне пытались доказать более сильный факт: множество значений любой функции в точках экстремума не более, чем счетно.