Пределы и производные

[Nikir]

Вечер добрый.
Возникло несколько вопросов по пределам и по производным. Буду рад, если натолкнете на мысль...

1.

$$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}{\sqrt{x^2+3x+1}-\sqrt{x^2-x+3}}=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}{\frac{x^2+3x+1-x^2+x-3}{\sqrt{x^2+3x+1}+\sqrt{x^2-x+3}}=$$ $$=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{4x-2}{|x|(\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}})}=\pm 4 $$

2.

$$\lim{x\rightarrow 0}{\frac{\cos{mx}-\cos{(m+n)x}}{1-\cos(nx)}$$

Этот предел пытался расписать через разность косинусов, но ни к чему разумному не пришел...

3. Найти производную

$$y=(2x)^{\sin{3x}}$$

Тут, честно говоря, вообще не могу сообразить. Знаю, как берется производная от $y=a^x$, и от $y=x^a$, а как от такого - не знаю...

[Алексей К.]

3. А прологарифмируйте сначала. А потом дифференцируйте.
В левой части будет $\ln y$. Знаете, как взять производную от этой штуки?
В правой части будет легко.

[ИСН]

1 - вроде всё так.
2 - только так и надо. Если знаете, чему равен предел $\lim\limits_{x\to0}{\sin 5x\over x}$ - то и с этим разберётесь, ведь это он и есть (ну, комбинация нескольких таких).
3 - выразить всё как e в какой-то степени, а для этого надо знать тайны логарифмов.

[cool.phenon]

\begin{center} \begin{multline*} \left( f{{\left( x \right)}^{g\left( x \right)}} \right)'=g\left( x \right)f{{\left( x \right)}^{g\left( x \right)-1}}f'\left( x \right)+f{{\left( x \right)}^{g\left( x \right)}}\left( \ln f\left( x \right) \right)g'\left( x \right) \end{multline*} \end{center}

[RST104]

по 3-можно воспользоваться выражением для дифференциала функции многих переменных

[Nikir]

В третьем решил воспользоваться логарифмированием:

$$\ln y=(\sin 3x)\ln 2x$$

$$\frac{y'}{y}=m\cos3x\ln2x+\frac{\sin3x}{x}$$

$$y'=(2x)^{\sin3x}(m\cos3x\ln2x+\frac{\sin3x}{x})$$

Во втором сделал так:

$$-\frac{\sin{\frac{2m+n}{2}}\sin{\frac{n}{2}}}{\sin^2{\frac{n}{2}}}=-\frac{\sin{\frac{2m+n}{2}}}{\sin{\frac{n}{2}}}=\frac{2m+n}{n}$$

[Алексей К.]

Nikir в сообщении #648056 писал(а):

В третьем решил воспользоваться логарифмированием

Но у Вас там буковка появилась новая, $m$. Необъяснённая. Может это из какой-то никому здесь не известной методички?

[Nikir]

Алексей К. в сообщении #648294 писал(а):

Но у Вас там буковка появилась новая, $m$. Необъяснённая. Может это из какой-то никому здесь не известной методички?

Опечатка просто. 3 там должно быть. Не могу даже сейчас сказать, откуда взялась. Возможно, когда перепечатывал с листа, на котором решал, не туда посмотрел.
А в остальном все правильно?

[ИСН]

Производная от $\sin3x$ чему равна?

-- Чт, 2012-11-22, 23:12 --

А, Вы говорите, 3 там должно быть. Тогда ОК.

-- Чт, 2012-11-22, 23:13 --

Только тут это. Так производную брать - это всё равно что ездить на велосипеде с боковыми колёсиками. Пацаны смеяться будут.

[alcoholist]

Nikir в сообщении #647912 писал(а):

$$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}{\sqrt{x^2+3x+1}-\sqrt{x^2-x+3}}=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}{\frac{x^2+3x+1-x^2+x-3}{\sqrt{x^2+3x+1}+\sqrt{x^2-x+3}}=$$

$$=\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{4x-2}{|x|(\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}})}=\pm 4 $$

а сумма корней в знаменателе к чему стремится?