Преобразование системы д.у.

[.:Артём:.]

Есть система:

\[ \left\{ \begin{gathered} \dot x_1 = x_3 \hfill \\ \dot x_2 = x_4 \hfill \\ \dot x_3 = \alpha x_1 + 2\sigma x_4 + \beta x_1 x_2^2 \hfill \\ \dot x_4 = ex_2 - 2\sigma x_3 + \gamma x_1 x_2^2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \]

Требуется систему (1) преобразовать к виду:

\[ \left\{ \begin{gathered} \dot x = - \lambda y + X(x,y,z_1 ,z_2 ) \hfill \\ \dot y = \lambda x + Y(x,y,z_1 ,z_2 ) \hfill \\ \dot z_1 = b_{11} z_1 + b_{12} z_2 + Z_1 (x,y,z_1 ,z_2 ) \hfill \\ \dot z_2 = b_{21} z_1 + b_{22} z_2 + Z_2 (x,y,z_1 ,z_2 ) \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\,\,(2) \]

Систему (1) можно записать в виде:

\[ \dot X = AX \]

.

\[ \lambda \]

- собственное значение матрицы

\[ A \]

.

Не подскажите, какую надо произвести замену переменных?

[Bod]

.:Артём:. писал(а):

Есть система:
Систему (1) можно записать в виде:

\[ \dot X = AX \]

.
[math]

С чего вы взяли что это возможно? По моему - без линеаризации в некоторой точке у вас не получится записать нелинейную систему Д.У в виде линейной.

[Zai]

Судя по всему разложение нужно проводить для X=0
Собственные значения в этом случае будут что -то вроде биквадратного уравнения:
$ \lambda^4+(4\sigma^2-e-\alpha)\lambda^2+e\alpha=0$

В случае совпадения корней вам нужно найти два ортогональных собственных вектора
$ r_1={r_{11},r_{21},r_{31},r_{41}},
$ r_2={r_{12},r_{22},r_{32},r_{42}},
для первого из двух собственных значений.
То же самое для второго.
Затем использовать замену

$ x_1={r_{11}x+r_{12}y+r_{13}z_1+r_{14}z_2,
$ x_2={r_{21}x+r_{22}y+r_{23}z_1+r_{24}z_2,
$ x_3={r_{31}x+r_{32}y+r_{33}z_1+r_{34}z_2,
$ x_4={r_{41}x+r_{42}y+r_{43}z_1+r_{44}z_2,

После преобразования первые два уравнения должны быть как в системе (2)