Изоморфны ли группы?

[nglain]

Изоморфны ли группы:
$({\langle a \rangle}_2 \times {\langle b \rangle}_4)/ {\langle 2b \rangle}$ и $({\langle a \rangle}_2 \times {\langle b \rangle}_4) / {\langle a+2b \rangle}$ ??
Если я верно понимаю, то:

$H_1={\langle a+2b \rangle} = \{ 0; a+2b \} $
$H_2={\langle 2b \rangle} = \{ 0; 2b \} $

Строю Факторгруппу по определению: $G/H = \{ gH | g \in G \}$

$G/H_1 = \{ (a,0)H_1 ; (a,b)H_1; (a,2b)H_1; (a,3b)H_1 \}$
Но тогда $G/H_1$ не будет группой.. В чем ошибка?

[AV_77]

Почему вы решили, что $G / H_1$ не группа? Нулем, например, является $(a + 2b) + H_1 = H_1$.

Да и вообще, в первом случае факторгруппа должна быть ясна. А во втором - обозначьте $c = a + 2b$ и посмотрите будет ли сумма $\langle c \rangle + \langle b \rangle$ прямой.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

$\langle b\rangle_4$ — это, я так понимаю, $\{0, b,2b,3b\}$? Интересные обозначения.

[nglain]

Joker_vD , Да все верно, такие обозначения в Задачнике..

AV_77 , Не понимаю, у нас же определена операция над смежными классами так: $aH \dot bH = (ab)H$ где $a,b$ - элементы из $G$ которые образуют смежный класс.

[AV_77]

Ну так что? Например
$(a + H_1) + ((a + b) + H_1) = (a + a + b) + H_1 = b + H_1 = (a + 3b) + H_1$

[fancier]

nglain в сообщении #648189 писал(а):

Изоморфны ли группы:
$({\langle a \rangle}_2 \times {\langle b \rangle}_4)/ {\langle 2b \rangle}$ и $({\langle a \rangle}_2 \times {\langle b \rangle}_4) / {\langle a+2b \rangle}$ ??
Если я верно понимаю, то:

$H_1={\langle a+2b \rangle} = \{ 0; a+2b \} $
$H_2={\langle 2b \rangle} = \{ 0; 2b \} $

Строю Факторгруппу по определению: $G/H = \{ gH | g \in G \}$

$G/H_1 = \{ (a,0)H_1 ; (a,b)H_1; (a,2b)H_1; (a,3b)H_1 \}$
Но тогда $G/H_1$ не будет группой.. В чем ошибка?

Может, проще попробовать зайти с другой стороны: какой порядок имеют факторгруппы? Сколько имеется неизоморфных групп данного порядка? Как их различить?