Периодичность в точке

[Alexander Evnin]

Будем говорить, что функция $f$, определённая на всей числовой прямой,
является периодической в точке $x_0$, если существует такое положительное
число $T$, что при любом целом $k$ выполнено равенство $f(x_0+kT)=f(x_0)$.
Верно ли, что всякая функция, периодическая в каждой точке числовой прямой,
является периодической и в обычном смысле?

Автор задачи --- Лейб Штейнгарц. Вариация этой задачи предлагалась на осеннем Турнире городов http://www.problems.ru/view_by_author.php?author=555.

Попробуйте решить эту задачу при дополнительном требовании целочисленности $T$.

[dgrozev]

No, this is not true.
Example. Define a relation $\sim$. For $x,y \in \mathbb{R}, \, x\sim y$ iff $x-y \in \mathbb{Z}$.
It is easy to see that this is an equivalence relation. Let $U_{\alpha}, \alpha \in I$ are all equivalence classes. Choose arbitrary $y_{\alpha} \in \mathbb{R},\,\alpha \in I$.
Now define $f$. Take $x\in \mathbb{R}$, find $U_{\alpha}$, so that $x\in U_{\alpha}$ and define $f(x):=y_{\alpha}$. In that way $f$ takes one and the same value in each equivalence class.
This function is periodic with period $1$ at every point $x_0 \in \mathbb{R}$.

[zhoraster]

dgrozev, у Вас получилась 1-периодическая функция.

Но вообще конструкцию эту можно исправить. Возьмем счетное число классов $\{A_k,k\ge 1\}$ из построенных. В классе $A_k$ выберем представителя $a_k$ и определим функцию на этом классе как $\sin \pi(x-a_k)/k$. На всех остальных классах пусть функция равна нулю. Тогда в каждой точке функция периодична с целым периодом.

Чтобы пресечь возражения в духе "Но это же задача для школьников, какие классы эквивалентности?!", возьмем $a_k=10^{-k}$ и будем говорить о дробных частях.

[dgrozev]

It is more interesting if we additionally require $f$ to be continious. What would be the answer then?

[zhoraster]

Интересно, но -- неинтересно. Потому что тогда функция будет периодической.

[dgrozev]

zhoraster в сообщении #648368 писал(а):

Интересно, но -- неинтересно. Потому что тогда функция будет периодической.

Are You sure?

[ИСН]

Функция, положим, будет складываться из таких повторяющихся треугольных шапочек. Высота их пусть стремится к нулю. Ширина тоже. А период - наоборот, растёт. Так, второе слагаемое будет отличаться от нуля на интервалах $(0,{1\over2}),\,(2,{5\over2})...$, третье - на $(0,{1\over4}),\,(4,{17\over4})...$

[dgrozev]

Exactly, in appropriate way, like that, You can construct not only continious $f$ but as smooth as You want, $f \in C^{\infty}(R)$.