Непрерывность функции

[Limit79]

Есть функция:
$f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{|x+2|}{x+2}, x<-2\\ \sqrt{4-x^2}, -2\leq x \leq 2\\ \frac{1}{x-2}, x>2 \end{matrix}\right.$

Нужно исследовать ее на непрерывность.

Начинаю вычислять пределы:

$\lim_{x \to -2-0} f(x) = \lim_{x \to -2} \left(\frac{|x+2|}{x+2}\right)$

И не могу сообразить, как вычислить этот предел. И еще вопрос насчет эквивалентности перехода от $x \to -2-0$ в первом к $x \to -2$ во втором.

Спасибо.

-- 21.11.2012, 21:06 --

Я так понимаю, что переход не эквивалентный, и во втором тоже надо писать односторонний предел, так как при двустороннем пределе маткад пишет "не определен", а при одностороннем $-1$.

[Sonic86]

Limit79 в сообщении #647736 писал(а):

И не могу сообразить, как вычислить этот предел. И еще вопрос насчет эквивалентности перехода от $x \to -2-0$ в первом к $x \to -2$ во втором.

Удобно сделать подстановку $x+2=y$. Ну для ясности, буковок станет меньше, свободной оперативки - больше А вообще он ручками считается, логикой то есть. "Пусть $x \to -2-0$. Тогда..."

-- Ср ноя 21, 2012 17:12:30 --

Limit79 в сообщении #647736 писал(а):

к $x \to -2$ во втором.

Во втором $x\to -2+0$. Ну т.е.

Limit79 в сообщении #647736 писал(а):

и во втором тоже надо писать односторонний предел

[Limit79]

Sonic86
То есть во втором тоже односторонний предел надо считать?

У меня с односторонними пределами всегда были проблемы, во всех книжках что читал, их решение идет как: предел = ответ. Когда есть комп по другой - считаю на нем, иначе представляю график.

-- 21.11.2012, 21:14 --

Sonic86
Я имел ввиду не второй предел, а: у меня выражение, там два предела, в первом односторонний, потом я пишу равно и дальше двусторонний.

[Sonic86]

Limit79 в сообщении #647751 писал(а):

меня с односторонними пределами всегда были проблемы,

А Вы сразу:

Limit79 в сообщении #647751 писал(а):

представляю график.

Я только так и делал.

-- Ср ноя 21, 2012 17:16:33 --

Ммм, давайте считать уже

[Limit79]

Sonic86
Я так понимаю, что:

$\lim_{x \to -2-0} f(x) = \lim_{x \to -2-0} \left(\frac{|x+2|}{x+2}\right) = -1$

$\lim_{x \to -2+0} f(x) = \lim_{x \to -2+0} \sqrt{4-x^2} = 0$

$\lim_{x \to 2-0} f(x) = \lim_{x \to 2-0} \sqrt{4-x^2} = 0$

$\lim_{x \to 2+0} f(x) = \lim_{x \to 2+0} \frac{1}{x-2} = + \infty$

Тогда: точка $x=-2$ - точка разрыва первого рода, а именно точка скачка.

точка $x=2$ - точка разрыва второго рода.

[Sonic86]

Да, все верно.

Limit79 в сообщении #647761 писал(а):

точка скачка.

Это Вам такой термин давали? Просто интересно. У нас говорили "неустранимая точка разрыва 1-го рода".

[Limit79]

Sonic86
Это я из книжки взял:

(Оффтоп)

[Sonic86]

Понятно. В принципе, хороший короткий термин.

[Limit79]

Честно говоря, я так и не понял насчет предела.

Я думаю так:

Необходимо вычислить: $\lim_{x \to -2-0} f(x)$

$-0$ значит, что левый предел, исходя из этого мы выбираем функцию $\frac{|x+2|}{x+2}$, и по идее же уже ищем ее двусторонний предел, то есть вот так:

$\lim_{x \to -2-0} f(x) = \lim_{x \to -2} \left( \frac{|x+2|}{x+2}\right)$

Или все таки правильно так:

$\lim_{x \to -2-0} f(x) = \lim_{x \to -2-0} \left( \frac{|x+2|}{x+2}\right)$

[Sonic86]

Limit79 в сообщении #647774 писал(а):

Или все таки правильно так:

$\lim_{x \to -2-0} f(x) = \lim_{x \to -2-0} \left( \frac{|x+2|}{x+2}\right)$

Правильно так.
Предел

Limit79 в сообщении #647774 писал(а):

$\lim_{x \to -2-0} f(x) = \lim_{x \to -2} \left( \frac{|x+2|}{x+2}\right)$

не определен

[Limit79]

Sonic86
Понял. Большое спасибо за помощь!

[gefest_md]

Limit79 в сообщении #647736 писал(а):

Есть функция:
$f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{|x+2|}{x+2}, x<-2\\ \sqrt{4-x^2}, -2\leq x \leq 2\\ \frac{1}{x-2}, x>2 \end{matrix}\right.$

Я бы переписал $f(x)$ (первая ветвь), потому, что там модуль. Тогда $\lim -1=-1.$

[Limit79]

gefest_md
Не очень понял Вас.

-- 21.11.2012, 22:16 --

Хотелось бы еще спросить, вот график этой функции:

(Оффтоп)

Какие точки должны быть "выколоты"?

-- 21.11.2012, 22:20 --

Или обе точки $x=\pm 2$ должны быть выколоты с обоих концов, так они не входят в область определения функции?

-- 21.11.2012, 22:21 --

Хотя нет, область определения же - вся числовая прямая.

[gefest_md]

Limit79 в сообщении #647803 писал(а):

gefest_md
Не очень понял Вас.

Та же функция (смотрите график) $f(x) = \left\{\begin{array}{rl} -1,&x<-2\\ \sqrt{4-x^2},&-2\leq x \leq 2\\ \frac{1}{x-2},& x>2 \end{array}\right.$

"Выколоты", я не понимаю. Не встречал. Просто $-2,\ 2$ - точки разрыва, по-моему первого и второго рода соответственно.

[Limit79]

gefest_md
А, понял.

Про выколоты - это я имел ввиду их обозначение на графике функции.