Транспонирование относительно побочной диагонали

[Bulinator]

Решая одну задачу, я получил матрицу следующего вида:

$$A^{(n)}=\imath\left(\begin{array}{cccccc} 0 & R_1 & 0 &\ldots &\ldots & 0 \\ -\bar R_{n-1} & 0 & R_2 & \ldots&\ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots &\ldots\\ 0 & \ldots&\ldots & -\bar R_2 & 0 & R_{n-1}\\ 0 &\ldots &\ldots &\ldots & -\bar R_1 & 0 \end{array}\right)$$

Т.е. $A^{(n)}_{ik}=\imath\delta_{i,k+1}R_i+\imath\delta_{i+1,k}\bar R_{n-k}$.
Если интересно, то $R_k=k(k+z)$, где $z\in \mathbb{C}$.
Так вот, из общих физических соображений, нужно, чтобы собственные значения этой матрицы были чисто вещественные.

По моему главное свойство этой матрицы в следующем:
Обозначим через $T'$ операцию транспонирования относительно побочной диагонали. Тогда матрица $A^{(n)}$ удовлетворяет соотношению:

$$\left(A^{(n)}\right)^\dagger=A^{T'},$$

где $\dagger$-обычное эрмитово сопряжение.

Собственно вопрос: есть какой-нибыдь рисерч на эту тему? Может ларчик просто открывается и факт вещественности собственных значений очевиден?

[Bulinator]

Допусти матрицы $A$ и $B$ удовоетворяют этому условию. Т.е.
$a_{ij}=a^*_{n-i,n-j}, b_{ij}=b^*_{n-i,n-j}$.

Тогда

$\left((AB)^{TT'*}\right)_{ij}=a^*_{n-i,k}b^*_{k,n-j}\equiv a^*_{n-i,n-k'}b^*_{n-k',n-j}=a_{ik'}b_{k'j}=(AB)_{ij}$

ассоциативность и вся прочая нечисть очевидна. Т.е. такие матрицы образуют группу. Группу Bulinator'а!!!

[arseniiv]

(Мимо проходил…)

А какие генераторы у ней?

[s.n.s.]

Операция $T'$ является композицией транспонирования и преобразования подобия:

$$ A^{T'} = I A^T I,$$

где $I$ - единичная анти-диагональная матрица (т.е. $(I)_{ij}=\delta_{n+1-i-j}$ ).
Поэтому ваша группа есть группа матриц, удовлетворяющих соотношению (черта обозначает комплексное сопряжение)

$$ \bar{A} = I A I.$$

Спектр таких матриц не обязан быть вещественным, как видно из примера $A=\Bigl(\begin{array}{cc}i &0\\0&-i\end{array}\Bigr)$.
Верно лишь что, если $\lambda \in {\rm Spec}(A)$, то и $\bar{\lambda} \in {\rm Spec}(A)$.

-- 15.11.2012, 12:20 --

Для матриц $A^{(n)}$ указанного вида при $n=3$ характеристический полином есть

$$ P_\lambda(A) = \lambda (\lambda^2 - R_1 \bar{R}_2 - \bar{R}_1 R_2) = \lambda (\lambda^2 - |R_1+R_2|^2 + |R_1|^2 +|R_2|^2 ).$$

Его ненулевые корни либо вещественные либо мнимые.

[Bulinator]

s.n.s.
спасибо.