Определение отображения

[Mitrius_Math]

Пусть:
1)$X, \ Y$ - произвольные непустые множества;
2) $f \subset X \times Y$ - некоторое бинарное отношение.
Бинарное отношение $f$ называется отображением, определённым на множестве $X$ со значениями во множестве $Y$, если $\forall x \in X$ $\exists ! y \in Y$ такой, что $(x,y) \in f$.
Корректно ли данное определение? Если нет, то почему?

[ewert]

А почему бы и нет?..

[arseniiv]

Mitrius_Math в сообщении #647220 писал(а):

$f \in X \times Y$

$f \subset X \times Y$.

[Mitrius_Math]

Поясню. Во многих учебниках отображение определяется так. Говорят, что на множестве $X$ определено отображение $f$ cо значениями во множестве $Y$, если для любого элемента $x$ из множества $X$ по некоторому закону найдётся единственный элемент $y$ множества $Y$. Иногда словосочетание, выделенное жирным шрифтом, вовсе отсутствует. Отсюда два вопроса. Первый (если упомянутое словосочетание имеется в определении). Что такое закон? Второй (если этих слов в определении нет). Мы говорим, что для такого-то элемента множества $X$ найдётся единственный элемент множества $Y$. Но как именно он найдётся?

-- Вт ноя 20, 2012 23:26:47 --

arseniiv в сообщении #647241 писал(а):

Mitrius_Math в сообщении #647220 писал(а):

$f \in X \times Y$

$f \subset X \times Y$.

Спасибо, я опечатался. Исправил. Речь идёт именно о подмножестве декартова произведения множеств $X$ и $Y$.

[ewert]

Mitrius_Math в сообщении #647244 писал(а):

если для любого элемента $x$ из множества $X$ по некоторому закону

"Закон" -- это всего лишь лирика, на языке декартовых произведений она излишня.

Mitrius_Math в сообщении #647244 писал(а):

Но как именно он найдётся?

Неважно как: то ли он найдётся -- то ли нет. Т.е. то ли он существует -- то ли не существует. В последнем случае отображение попросту задано не на всём Иксе.

(Оффтоп)

так и напрашивается мысль: где ж ты, Профессор; на кого ты нас оставил ...

[Mitrius_Math]

ewert в сообщении #647251 писал(а):

"Закон" -- это всего лишь лирика, на языке декартовых произведений она излишня.

Я об этом и говорю. Мне больше нравится то определение, что приведено в заглавном сообщении темы. Можно ли его использовать? Мне оно кажется более точным.

[ewert]

Нормальное определение. Ничуть не хуже того, лиричного. Но и лиричное тоже вполне сойдёт -- если мы не собираемся упираться рогом в дискретку.

[Mitrius_Math]

ewert в сообщении #647260 писал(а):

Но и лиричное тоже вполне сойдёт

Мне не нравится слово "закон" в том определении.

-- Вт ноя 20, 2012 23:49:35 --

ewert в сообщении #647260 писал(а):

если мы не собираемся упираться рогом в дискретку

Что Вы имеете в виду?
По-моему, тут всё просто. Бинарное отношение есть произвольное подмножество декартова произведения двух множеств (подмножество множества всех упорядоченных пар).

-- Вт ноя 20, 2012 23:52:10 --

(Оффтоп)

ewert в сообщении #647251 писал(а):

так и напрашивается мысль: где ж ты, Профессор; на кого ты нас оставил ...

Эх... Прочитал и сначала не поверил. Он был очень заметным участником форума.

[arseniiv]

Можно, конечно. (А то, с законом, оно вообще никуда не годится, но это всего лишь моё мнение. Кто-то скажет, что на естественном языке оно понятнее.)

-- Ср ноя 21, 2012 01:55:10 --

А при построении всего из множеств по-другому определить и не получится.

[ewert]

Mitrius_Math в сообщении #647262 писал(а):

По-моему, тут всё просто.

Всё, всё просто. Только людям, не привычным к избыточным абстракциям, слово "закон" милее сердцу, чем какое-то там декартово произведение. И это вовсе не означает, что они тупари и в математике ни бум-бум; а означает лишь, что из математики они предпочитают выбирать то, что ближе к их профессиональным интересам.

[Mitrius_Math]

arseniiv в сообщении #647266 писал(а):

А при построении всего из множеств по-другому определить и не получится.

arseniiv, мне именно это и нужно: ввести множества (на наивном уровне), операции с ними, а затем отображения множеств.

-- Вт ноя 20, 2012 23:58:59 --

ewert в сообщении #647269 писал(а):

Только людям, не привычным к избыточным абстракциям, слово "закон" милее сердцу, чем какое-то там декартово произведение.

ewert, я понимаю. Мне то определение с законом тоже когда-то было ближе, наличие слова закон (правило и проч.) меня ничуть не смущало. Теперь же кажется, что это не достаточно строго.

[ewert]

(Оффтоп)

Mitrius_Math в сообщении #647262 писал(а):

Он был очень заметным участником форума.

О да. И хотя я последнее время с ним практически и не ругался -- даже сама мысль о том, что при случае можно переругнуться, грела душу.

Странный эффект. Вроде и общались мы с ним лишь в виртуале, и общались редко; а вот -- исчез человек, и какая-то пустота. И понадобится определённое время, чтобы эту пустоту заполнить. А ведь кто-то из мемберов тут (даже, кажется, и заслуженных) пытался причислить его к троллям...

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #647281 писал(а):

Странный эффект. Вроде и общались мы с ним лишь в виртуале, и общались редко; а вот -- исчез человек, и какая-то пустота. И понадобится определённое время, чтобы эту пустоту заполнить.

Когда-то сидел на одном научном форуме, и там умер участник, тоже активный и заметный. Были аналогичные чувства.

[Утундрий]

ewert в сообщении #647281 писал(а):

А ведь кто-то из мемберов тут (даже, кажется, и заслуженных) пытался причислить его к троллям...

К вашим услугам.

[alcoholist]

Mitrius_Math в сообщении #647244 писал(а):

по некоторому закону

означает лишь, что тот $y$, который мы поставили в соответствие конкретному $x$ сегодня, будет таким же, как и завтра)