Определение предела!

[SteelRend]

SpBTimes в сообщении #647205 писал(а):

Предельный переход в равенствах имеет место при условии существования предела.

А почему же так? Т.е. можно записать
$\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x}=1=\frac{sin x}{x}$? Или всё-таки $\frac{sin x}{x}\approx 1$
И всё же, почему так?

[SpBTimes]

Обратное неверно. Из равенства пределов не следует, что равны функции.

[SteelRend]

Но как тогда они заменили предел на функцию? Ведь из равенства пределов не следует, что равны функции. Значит, не следует, что предел отношения и отношение оба равны производной.

П.С. а разве синус малого угла не равен углу?

[SpBTimes]

SteelRend в сообщении #647223 писал(а):

Но как тогда они заменили предел на функцию? Ведь из равенства пределов не следует, что равны функции.

Они заменили равенство функций на предел. Не наоборот же.

SteelRend в сообщении #647223 писал(а):

П.С. а разве синус малого угла не равен углу?

с погрешностью, которая определяется малостью

[SteelRend]

SpBTimes в сообщении #647224 писал(а):

SteelRend в сообщении #647223 писал(а):

Но как тогда они заменили предел на функцию? Ведь из равенства пределов не следует, что равны функции.

Они заменили равенство функций на предел. Не наоборот же.

А наоборот нельзя? D:
Где можно подробнее почитать об этом?

[SpBTimes]

И вообще говоря вы что-то странное цитируете. Обычно берется секущая, после чего приращение устремляется к нулю, то есть вторая точка пересечения с графиком функции как бы стремится к первой, и вот это предельное положение называют касательной (предельное положение секущей).

-- Вт ноя 20, 2012 22:08:54 --

SteelRend в сообщении #647225 писал(а):

А наоборот нельзя? D:
Где сожно подробнее почитать об этом?

Доказательство справедливости предельного перехода в равенстве проведите сами. Для обратного действия вы и сами привели контр-пример

[gefest_md]

SteelRend в сообщении #647149 писал(а):

Звучит оно так:
Число $a$ называется пределом последовательности $\{x_n\}$, если для каждого $\varepsilon>0$ существует такой номер $N_\varepsilon$, что для всех $n \ge N_\varepsilon$ выполняется неравенство $\mid x_n - a \mid < \varepsilon$

SpBTimes в сообщении #647156 писал(а):

Могли бы, когда приведете полное определение

Это определение предела сходящейся последовательности: $a\in\mathbb{R}.$

[SteelRend]

SpBTimes в сообщении #647224 писал(а):

Они заменили равенство функций на предел. Не наоборот же.

Равенство каких функций именно?

[SpBTimes]

Рассмотрим секущую, проходящую через точки $(x_0; f(x_0))$ и $(x_1; f(x_1))$
Её коэффициент наклона задается функцией $\tg(\varphi(x_1)) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$
По условию функция $f$ предполагается дифференцируемой, так что из существования предела справа следует существование предела слева и получаем, что $\lim\limits_{x_1 \to x_0} \tg(\varphi(x_1)) = f'(x_0)$. Ну и отсюда $\tg(\varphi) = f'(x_0)$