Определение предела!

[SteelRend]

Не могли бы вы объяснить значение некоторых слов определении предела? Звучит оно так:
Число $a$ называется пределом последовательности $\{x_n\}$, если для каждого $\varepsilon>0$ существует такой номер $N_\varepsilon$, что для всех $n \ge N_\varepsilon$ выполняется неравенство $\mid x_n - a \mid < \varepsilon$
Что обозначает это "эпсилон"? Почему оно именно больше нуля?

[SpBTimes]

Могли бы, когда приведете полное определение

[SteelRend]

Просто проблемы с техом. Пару минут, пожалуйста.

[SpBTimes]

$\varepsilon$ - некоторое вещественное число. По сути дела оно характеризует ошибку приближения вашей последовательности к числу. То есть определение можно перефразировать так: если какую бы вы ни взяли погрешность ($\varepsilon$), найдется такой номер $N$, что все члены после ($n > N$) будут лежать в полосе шириной $2 \varepsilon$ ($a - \varepsilon < x_n < a + \varepsilon$), то число $a$ мы будем называть пределом данной последовательности (происходит сколь угодно близкое приближение)

[SteelRend]

А эпсилон окрестность это как?

[Maslov]

SteelRend,
взгляните на эту тему: «Доказать значение предела последовательности по определению.».
Может быть, найдете что-нибудь полезное.

[SpBTimes]

SteelRend в сообщении #647169 писал(а):

А эпсилон окрестность это как?

эпсилон-окрестность точки $x_0$ - интервал $(x_0 - \varepsilon; x_0 + \varepsilon)$

[SteelRend]

ахахах! только что смотрел в учебник и хотел задать такой же вопрос! Спасибо, посмотрим.

[Nemiroff]

SteelRend в сообщении #647149 писал(а):

Почему оно именно больше нуля?

Ну если оно меньше нуля, то неравенство не выполняется никогда.

[SteelRend]

Это вроде понятно, но почему бы тогда не написать неравенство перед тем, что эпсилон больше нуля?

Иещё: что обозначает номер N. Это как $x_n$, только $\varepsilon_N$?

[SpBTimes]

SteelRend в сообщении #647185 писал(а):

Это вроде понятно, но почему бы тогда не написать неравенство перед тем, что эпсилон больше нуля?

Стул - это то, на чем сидят.
Это то, на чем сидят стул.

Определения содержат некую логическую последовательность.

SteelRend в сообщении #647185 писал(а):

Это как $x_n$, только $\upsilon_N$?

Это никак. Это просто натуральное число.

[SteelRend]

Я имею в виду, это индекс эпсилон, или индекс икса?

[SpBTimes]

Порядковый номер элемента последовательности

[SteelRend]

SpBTimes в сообщении #647195 писал(а):

Порядковый номер элемента последовательности

Спасибо, и ещё один вопрос. Уравнение наклонной. Коэффициент $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=tg\alpha$
Для того, чтобы написать уравнение касательной, надо заменить $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ на
$\dot{f}(x_0)$(так написано в учебнике). Итак, ур-е касательной $y=f(x_0)+\dot{f}(x_0)(x-x_0)$
Однако же, известно, что
$\dot{f}(x_0)=\lim_{x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$
Как они перешли от предела отношения к самому отношению?

[SpBTimes]

Предельный переход в равенствах имеет место при условии существования предела.