Площадь в полярных координатах

[Limit79]

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.

$p=\sqrt{3} \cos{\varphi}, p= \sin(\varphi), 0\leqslant \varphi\leqslant \frac{\pi}{2}$.

Как я решал:
Графики обоих функций - окружности. Сделал рисунок:

(Оффтоп)

И не могу понять, какую область необходимо выбрать, по идее же - область на пересечении двух окружностей, но к чему тогда дан отрезок для фи?

-- 20.11.2012, 19:55 --

Пока писал первый пост, внезапно пришла мысль, так если искомая площадь - пересечение этих двух окружностей, то в этой области $\varphi$ как раз и меняется в этих пределах: $0\leqslant \varphi\leqslant \frac{\pi}{2}$

[Sonic86]

Limit79 в сообщении #647072 писал(а):

Пока писал первый пост, внезапно пришла мысль, так если искомая площадь - пересечение этих двух окружностей, то в этой области $\varphi$ как раз и меняется в этих пределах: $0\leqslant \varphi\leqslant \frac{\pi}{2}$

Ну да Видимо так дана подсказка.
Вроде все понятно. Считайте!

[Limit79]

Sonic86

А при вычислении площади надо делить эту фигуру на две по лучу $\varphi = \frac{\pi}{3}$ и рассматривать две площади?

Площадь нижнего куска будет:
$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} ({\sin{\varphi}})^{2}d\varphi$

А верхнего:
$S = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\sqrt{3}\cos{\varphi})^{2}d\varphi$

Вроде же так?

[Sonic86]

Limit79 в сообщении #647107 писал(а):

А при вычислении площади надо делить эту фигуру на две по лучу $\varphi = \frac{\pi}{3}$ и рассматривать две площади?

Ну да

Кстати, вычисление потом можно проверить, вычислив площади сегментов чисто геометрически.

[Limit79]

Sonic86
Не понимаю, как в формуле для площади сегмента найти угол...

[Sonic86]

Limit79 в сообщении #647129 писал(а):

Не понимаю, как в формуле для площади сегмента найти угол...

На который он опирается? Если да, то через длину отрезка сегмента и длину серединного перпендикуляра к нему, например.

Да в принципе интегралы-то несложные Это я вспомнил просто...

[Limit79]

Sonic86
За правильность интегралов я не волнуюсь - проверяю в матпакетах.

У меня получилось $S = \frac{5 \pi}{24} - \frac{\sqrt{3}}{4}$, это примерно $0.22$ .

Я прикинул, что искомая площадь, это примерно треть площади верхнего круга, а площадь верхнего круга будет $ \frac{\pi}{4}$, то есть треть ее это будет примерно $0.235$ .

-- 20.11.2012, 21:40 --

Sonic86
Единственно что, не могли бы вы проверить правильность записи формул для площадей - то есть интегралов, если Вас не затруднит.

-- 20.11.2012, 21:46 --

Вот так вот проверял:

(Оффтоп)

[Sonic86]

Limit79 в сообщении #647148 писал(а):

Единственно что, не могли бы вы проверить правильность записи формул для площадей - то есть интегралов, если Вас не затруднит.

Ну сама-то формула $S=\frac{1}{2}\int\limits_a^b\rho^2(\varphi) d\varphi$ общеизвестна. Ее и нагуглить можно.
Пределы у Вас тоже расставлены правильно.

[Limit79]

Sonic86
Спасибо.

Просто всегда остаются некоторые сомнения.