Помогите найти сумму ряда

[dobryaaasha]

Здравствуйте!
Помогаю своему парню решить задачи по теме "Ряды". Сама эту тему слава Богу сдала 4 года назад. Теперь ничего не помню и лекции не нашла . Искала в интернете алгоритмы, как искать сумму ряда. Нашла только для рядов следующего вида: $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {1}{(n^2+5n+1)}$.
Но как подступиться к нужному ряду, не представляю: $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {{(-1)^{n+2}}{3^n}}{{4^n}{2^{n+1}}}$.
Помогите пожалуйста решить или хотя бы натолкните с чего начать, как преобразовать этот ряд.
Заранее спасибо.

[xmaister]

Суммируйте ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n,|x|<1$. Подумайте, что взять за $x$.

[dobryaaasha]

Я правильно размышляю?

$2^{n+1}=2 \cdot 2^n$

$\frac {3^n}{{4^n}{2^{n+1}}}=\frac {3^n}{4^n \cdot 2^n \cdot 2}$

Тогда
$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {{(-1)^{n+2}}{3^n}}{{4^n}{2^{n+1}}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {{(-1)^{n+2}}{3^n}}{4^n \cdot 2^n \cdot 2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^{n+2}}{2} (\frac {3}{4 \cdot 2})^n$

А что делать со знакочередующимся членом?

[SpBTimes]

Его тоже туда можно запихнуть, туда - под общий член.

[dobryaaasha]

Тогда размышляем так:

$(-1)^{n+2}=(-1)^n \cdot (-1) \cdot (-1)=(-1)^n$

Тогда ряд примет вид $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {1}{2} (\frac {-1\cdot 3}{4 \cdot 2})^n$

А теперь что делать? Я пыталась считать первые несколько членов, но это я думаю неверный подход.

[SpBTimes]

Геометрическая прогрессия

[dobryaaasha]

Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем меньше единицы по модулю:

$S=\frac {b_1}{1-q}$

$b_1=1/2$
$q=-3/8$

$S=\frac {1/2}{1-(-3/8)}=4/11$

Все получилось. Спасибо!!!