производная скалярного произведения

[gefest_md]

Пусть $f(t)=\mathbf{r}(t)\mathbf{e}$, где $\mathbf{e}$ единичный вектор в направлении $\mathbf{r}.$

Тогда $f^\prime(t)=\mathbf{r}^\prime(t)\mathbf{e}+\mathbf{r}(t)\mathbf{e}^\prime=\mathbf{r}^\prime(t)\mathbf{e}+\mathbf{r}(t)\frac{\mathbf{r}^\prime(t)}{|\mathbf{r}(t)|}=\mathbf{r}^\prime(t)\mathbf{e}+\mathbf{r}^\prime(t)\mathbf{e}=2\mathbf{r}^\prime(t)\mathbf{e}.$

Правильно $f^\prime(t)=\mathbf{r}^\prime(t)\mathbf{e}.$ Где ошибка?

[ewert]

gefest_md в сообщении #646516 писал(а):

Где ошибка?

Вот здесь:

$\ldots\ +\mathbf{r}(t)\mathbf{e}^\prime=\ldots\ +\mathbf{r}(t)\frac{\mathbf{r}^\prime(t)}{|\mathbf{r}(t)|}.$

С какой стати последняя-то дробь?... На самом деле дифференцировать надо $\mathbf{e}(t)=\frac{\mathbf{r}(t)}{|\mathbf{r}(t)|}$, и выражение получится совсем другим. На ещё более самом деле ничего вообще дифференцировать не надо: производная единичного вектора, очевидно, ортогональна ему самому (вообще любого единичного вектора и вообще по чему угодно производная) и тем самым ортогональна радиус-вектору.

[мат-ламер]

Если же топикстартер решит всё же действовать формально и не опираться на интуитивно очевидные вещи, то на своём пути ему придётся решить задачу на нахождение производной от нормы вектора, которую проще решить как задачу нахождения производной корня от квадрата нормы. Если он справится с этой задачей, то может найти второе решение исходной задачи, которая эквивалентна только что решенной.

[gefest_md]

Я продолжил дифференцирование, рассматривая $\frac{1}{|\mathbf{r}|}=\frac{1}{\mathbf{re}}.$ Вроде бы получилось. Быстрый метод, $\mathbf{e}\mathbf{e}^\prime=0$, тоже понятен (есть одна лемма про векторы одинаковой длины в окрестности).

[alcoholist]

gefest_md в сообщении #646516 писал(а):

Пусть $f(t)=\mathbf{r}(t)\mathbf{e}$

проще сказать, что $f(t)=|\mathbf{r}(t)|$, и считать спокойно