Мера подграфика опуклой функции

[citadeldimon]

Всем привет!

Помогите доказать или подскажите где можно найти. Имеем функцию $u(t):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ - неотрицательна выпуклая функция. Пусть тогда

$$ \alpha(t)=V(\{x:u(x)\le t\}), $$

где $V$ - n-мерный объем.

Доказать что $(\alpha(t))^{\frac 1n}$ вогнутая.

[cool.phenon]

Здесь чего-то не хватает. Ограничений на область определения $\alpha\left(t\right)$. Чувствую, что это от инфимума до супремума значений функции. Иначе говорить не о чём - она будет постоянной за этой областью, там уже ни о какой выпуклости нельзя говорить.

Случаи $\n=1,2$ тривиальны. Можно выписать функцию явно. Дальше попробуйте аналогию.

[citadeldimon]

cool.phenon в сообщении #646554 писал(а):

Здесь чего-то не хватает. Ограничений на область определения .

поскольку $u\ge0,$ то функция $\alpha(t)$ определена для $t\ge0.$

[cool.phenon]

Точно, про то,что неотрицательная, не заметил. Но вот насчёт супремума - стоило бы подправить.

Ну для случая $n=1$ легко. Работал с такой функцией, только с надграфиком.

[citadeldimon]

cool.phenon в сообщении #646567 писал(а):

Ну для случая $n=1$ легко.

Ну тут тривиально)

$\alpha(t)=u^{-1}(t)$ - вогнутая. Интересует доказательство для $n>1.$

[cool.phenon]

А вот тут уже ошибка. Никто ж не сказал,что $u\left(x\right)$ - строго монотонна на области определения. Это из выпуклости не следует.

[citadeldimon]

cool.phenon в сообщении #646587 писал(а):

Это из выпуклости не следует.

да да да))