Угол между прямой и плоскостью.

[never-sleep]

Помогите, пожалуйста, разобраться.



Как тут лучше -- методом координат или классикой?

Пусть $E'$ - проекция точки $E$ на плоскость $ABC$

Пусть $D'$ - проекция точки $D$ на плоскость $ABC$

Пусть $a$ - сторона правильного треугольника.

Пусть $b$ - длина бокового ребра.



Тогда высота правильного треугольника $h=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$

$CE'=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

$AE'$ - проекция прямой $AE$ на плоскость $ABC$ Таким образом нам нужно найти угол между $AE$ и $AE'$. Можно это сделать из треугольника $AEE'$,

притом угол $\alpha=\angle AEE'$ прямой.

Тогда $\cos\alpha=\dfrac{AE'}{AE}$

Но пока что не ясно - как найти $AE'$ и $AE$

[alcoholist]

мне кажется, что легче через вектора: выразите все через базис $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$

[gefest_md]

$EE^\prime=\frac{AE}{2}$ или нет?

[never-sleep]

$A(0;0;0)$

$B\big(\dfrac{\sqrt{3}a}{2};\dfrac{a}{2};0\big)$

$C(0;a;0)$

$D\big(\dfrac{\sqrt{3}a}{4};0,5a;\sqrt{b^2-\dfrac{a^2}{3}}\big)$

-- 19.11.2012, 16:14 --

gefest_md в сообщении #646493 писал(а):

$EE^\prime=\frac{AE}{2}$ или нет?

А почему так?

[TOTAL]

Боковая грань наклонена под углом, косинус которого равен $1/3,$ а синус равен $2\sqrt{2}/3.$
Искомый синус в два раза меньше.

[never-sleep]

TOTAL в сообщении #646506 писал(а):

Боковая грань наклонена под углом, косинус которого равен $1/3,$ а синус равен $2\sqrt{2}/3.$
Искомый синус в два раза меньше.

Спасибо. Наклонена к плоскости основания? Вы считали угол между плоскостями? Чем он может быть полезен?

[TOTAL]

never-sleep в сообщении #646511 писал(а):

TOTAL в сообщении #646506 писал(а):

Боковая грань наклонена под углом, косинус которого равен $1/3,$ а синус равен $2\sqrt{2}/3.$
Искомый синус в два раза меньше.

Спасибо. Наклонена к плоскости основания? Вы считали угол между плоскостями? Чем он может быть полезен?

Тем, что решает задачу "в уме".
Докажите, что:
1) боковая грань наклонена к плоскости основания под углом, косинус которого равен $1/3,$
2) а синус равен $2\sqrt{2}/3.$
3) Искомый синус в два раза меньше.

[never-sleep]

Пусть $a$ - сторона правильного треугольника.

Пусть $b$ - длина бокового ребра.

1) Угол между плоскостями определяется так $\cos\beta=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{6}}{\sqrt{b^2-\dfrac{a^2}{4}}}=\dfrac{1}{3}$

2) Ну это легко $\sin\beta=\sqrt{1-cos^2\beta}=\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

3) А вот это пока что не понимаю. Угол между прямой и плоскостью - это угол между 2-мя плоскостями

[TOTAL]

1) сравните площадь грани и площадь её проекции на основание
3) синус = противоположный катет / гипотенузу. Для искомого синуса и найденного в п.2 синуса найдите соответствующие треугольники (с равными гипотенузами и отличающимися в два раза катетами)

[never-sleep]

TOTAL в сообщении #646529 писал(а):

1) сравните площадь грани и площадь её проекции на основание
3) синус = противоположный катет / гипотенузу. Для искомого синуса и найденного в п.2 синуса найдите соответствующие треугольники (с равными гипотенузами и отличающимися в два раза катетами)

1) Площадь проекции в 3 раза меньше

-- 19.11.2012, 17:11 --

Я вот не пойму - угол между прямой и плоскостью равен углу между плоскостями...

-- 19.11.2012, 17:13 --

Не могу подобрать гипотенузу одинаковую..

[TOTAL]

never-sleep в сообщении #646535 писал(а):

Не могу подобрать гипотенузу одинаковую..

Тогда подберите катеты один в два раза меньше другого.

[never-sleep]

Спасибо. Что-то все равно не понял. Решил, выразив гипотенузу и катет через ребро треугольника, получился такой же ответ)

[Nacuott]

1.Запишите координаты точке Е.
2.Найдите векторное произведение векторов АВ и АС.
3.Найдите косинус угла между вектором АЕ и вектором из пункта 2 - получите искомый синус