неравенство для векторов

[gefest_md]

Одна теорема для векторных функций доказывается вместо прямого аналога теоремы Лагранжа с использованием такого замечания (Кудрявцев).

Цитата:

Замечание 5. Для любых векторов $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$ имеет место неравенство

$$\mathbf{xy}\leqslant|\mathbf{x}||\mathbf{y}|$$

Действительно,

$$\mathbf{xy}\leqslant|\mathbf{xy}|=|\mathbf{xy}\cos\hat{\mathbf{xy}}|=|\mathbf{x}||\mathbf{y}||\cos\hat{\mathbf{xy}}|\leqslant|\mathbf{x}||\mathbf{y}|.$$

И мне не понятно $|\mathbf{xy}|=|\mathbf{xy}\cos\hat{\mathbf{xy}}|$

По-моему более естественным выглядит следующее.

$$-1\leqslant\cos\mathbf{\hat{xy}}\leqslant 1\ \ \Leftrightarrow\ \ -|\mathbf{x}||\mathbf{y}|\leqslant|\mathbf{x}||\mathbf{y}|\cos\mathbf{\hat{xy}}\leqslant |\mathbf{x}||\mathbf{y}|\ \ \Leftrightarrow\ \ -|\mathbf{x}||\mathbf{y}|\leqslant \mathbf{xy} \leqslant|\mathbf{x}||\mathbf{y}|.$$

[alcoholist]

то же самое, только длиннее

[nnosipov]

Да, довольно странное замечание 5 у Кудрявцева. Неравенство $|(x,y)| \leqslant |x||y|$ обычно доказывают непосредственно, а уж потом определяют угол между векторами на основе этого неравенства.

[gefest_md]

Извините, что поторопился. В моём издании от 1989г. опечатка. Правильно конечно $|\mathbf{xy}|=||\mathbf{x}||\mathbf{y}|\cos\hat{\mathbf{xy}}|$ (2005г.)