Модули

[Plotnikov]

$M, N$--конечно порожденные модули над локальным кольцом $A$. Доказать, что если $M\otimes_{A}N=0$, то $M=0$ или $N=0$.

Из идей пока только одна: воспользоваться как-то такой леммой

$A$--локальное кольцо, $a\subset A$--идеал, отличный от всего $A$, и $M$--$A$-модуль конечного типа. Если $M=aM$, то $M={0}$.

Подскажите, пожалуйста, как правильно воспользоваться этой леммой (если я двигаюсь в правильном направлении).

Спасибо!

[Sonic86]

Так, я не разбираюсь, потому относитесь к моему тексту критично.

(Оффтоп)

Но я прошел огонь, воду и ван дер Вардена, потому отвечу!

$M\otimes_A N$ - $A$-модуль конечного типа? Если да, почему бы к нему не применить лемму.
Кстати, модуль конечного типа - это конечно порожденный модуль или нет? Тут пишут, что да. Тогда проблем вроде нет.

[Plotnikov]

Нашел в книжке некоторые указания к этой задаче, но есть некоторые вопросы. Сейчас напишу, какие указание:

$m$--максимальный идеал, $k=A/m$--поле вычетов. Пусть $M_k=k\otimes_{A}M$ изоморфно $M/mM$. Тогда по лемме (которую я уже написал) если $M_k=0$, то $M=0$. $M\otimes_{A}N=0$, значит $(M\otimes_{A}N)_{k}=0$, значит $M_k\otimes_{k}N_k=0$, значит $M_k=0$ или $N_k=0$, так как $M_k, N_k$--векторные пространства.

Возникли такие вопросы:
1) почему верно $M_k=k\otimes_{A}M$ изоморфно $M/mM$?
2)$M\otimes_{A}N=0$, значит $(M\otimes_{A}N)_{k}=0$??
3) Непонятно следствие $(M\otimes_{A}N)_{k}=0$, значит $M_k\otimes_{k}N_k=0$
4) Почему для векторных пространств если $M_k\otimes_{k}N_k=0$, значит $M_k=0$ или $N_k=0$?

Помогите, пожалуйста, разобраться!

[Sonic86]

Что-то я не понимаю
А что значит $M_k=k\otimes_{A}M$? Это тензорное произведение векторных пространств? Т.е. если $e_1,...,e_n$ - базис $M$ и $\bar 1$ - базис $k$, то $h_j=e_j\otimes\bar 1$ - базис $k\otimes_{A}M$? Просто если так, то $M$ вложимо в $k\otimes_{A}M$ как $\bar 0\otimes_{A}M$, но тогда изоморфизма нет. ... Или есть?

Plotnikov в сообщении #646109 писал(а):

$m$--максимальный идеал, $k=A/m$--поле вычетов.

А почему сразу поле вычетов, а не просто поле?

А что за книжка?

-- Вс ноя 18, 2012 17:16:23 --

Plotnikov в сообщении #646109 писал(а):

2)$M\otimes_{A}N=0$, значит $(M\otimes_{A}N)_{k}=0$??

Если $\otimes$ - тензорное произведение, то, наверное, это следует из соображений размерности: $\operatorname{dim}(M\otimes_{A}N)=0$, а $\operatorname{dim}((M\otimes_{A}N)_{k})=0\cdot\operatorname{dim}(k)$?

Или нет: $\otimes$ - это тензорное произведение. А что такое тогда $\otimes_A$?

[fancier]

Plotnikov в сообщении #646109 писал(а):

1) почему верно $M_k=k\otimes_{A}M$ изоморфно $M/mM$?

см. topic64264.html

[Plotnikov]

Спасибо за помощь! Кажется, со всем разобрался, кроме третьего вопроса. Почему это всё-таки так??

[fancier]

Plotnikov в сообщении #646109 писал(а):

Нашел в книжке некоторые указания к этой задаче, но есть некоторые вопросы. Сейчас напишу, какие указание:

$m$--максимальный идеал, $k=A/m$--поле вычетов. Пусть $M_k=k\otimes_{A}M$ изоморфно $M/mM$. Тогда по лемме (которую я уже написал) если $M_k=0$, то $M=0$. $M\otimes_{A}N=0$, значит $(M\otimes_{A}N)_{k}=0$, значит $M_k\otimes_{k}N_k=0$, значит $M_k=0$ или $N_k=0$, так как $M_k, N_k$--векторные пространства.

Возникли такие вопросы:
2)$M\otimes_{A}N=0$, значит $(M\otimes_{A}N)_{k}=0$??
3) Непонятно следствие $(M\otimes_{A}N)_{k}=0$, значит $M_k\otimes_{k}N_k=0$
4) Почему для векторных пространств если $M_k\otimes_{k}N_k=0$, значит $M_k=0$ или $N_k=0$?

Помогите, пожалуйста, разобраться!

2) -- очевидно из определения $(M\otimes_{A}N)_{k}$.
3) следует из цепочки изоморфизмов:

$$(M\otimes_AN)_k\cong M\otimes_A(N\otimes_Ak)\cong M\otimes_A(N\otimes_A(k\otimes_Ak))\cong M\otimes_A((N_k)\otimes_Ak)\cong M_k\otimes_AN_k\cong M_k\otimes_kN_k.$$

4) для конечномерных векторных пространств это очевидно (чему равна размерность тензорного произведения $m$ и $n$-мерных векторных пространств?).

[Plotnikov]

Возможно, это очень глупо, но объясните, пожалуйста, последний изоморфизм (в п.3).

[fancier]

Plotnikov в сообщении #646261 писал(а):

Возможно, это очень глупо, но объясните, пожалуйста, последний изоморфизм (в п.3).

Когда $M_k$ мы рассматриваем как $A$-модуль, то идеал $\mathfrak{m}\subset A$ на нем действует тривиально, т.е. фактически это (точный) $A/{\mathfrak m}$-модуль. То же для $N_k.$ Теперь нужный изоморфизм легко построить из определения тензорного произведения модулей над кольцом.

[Sonic86]

А все-таки, что такое $\otimes_A$?

[fancier]

Sonic86 в сообщении #646307 писал(а):

А все-таки, что такое $\otimes_A$?

Это тензорное произведение над кольцом $A$ -- см. например гл. 2 в книге Атья, Макдональд "Введение в коммутативную алгебру".

[fancier]

Цитата:

Теперь нужный изоморфизм легко построить из определения тензорного произведения модулей над кольцом.

Точнее, требуемое следует из того, что в этом случае $A$-билинейные отображения $M_k\times N_k\rightarrow P$ -- то же что $k$-билинейные.