Интегральное уравнение

[cool.phenon]

Есть одно интегральное уравнение

\begin{gather*} \int\limits_{0}^{T}{\frac{f\left( t \right)}{{{t}^{\varepsilon }}}}dt=1 \end{gather*}

относительно ${f} \left(t\right), \varepsilon <1$. Как его решать? Подскажите хотя бы метод.

[DLL]

Существует бесконечно много функций, удовлетворяющих этому условию.
Например, $f(t) = \frac{1}{T}t^{\varepsilon}$.

[cool.phenon]

То есть, конкретного метода решения нету, нужно просто подбирать?

[Pphantom]

cool.phenon в сообщении #645924 писал(а):

То есть, конкретного метода решения нету, нужно просто подбирать?

Подбирать придется долго, поскольку множество решений более чем счетно. Собственно, из условия следует, что надо найти такую функцию $g(t)=f(t)/t^\varepsilon$, что ее среднее значение на интервале $[0;T]$ равно $1/T$. Очевидно, что даже только линейных функций, удовлетворяющих этому условию, бесконечно много.

Так что если нужен более конкретный ответ, то надо откуда-то брать дополнительные ограничения на $f(t)$, иначе проще считать исходную формулировку "ответом".

[cool.phenon]

Ну в общем-то можно задачу считать решённой, потому что мне как раз и нужен был несчётный класс таких функций. Просто возникали сомнения, ну а раз так, то теперь их и нету

[Pphantom]

Да, тогда нашли. Тот же частный случай: для $g(t)$ годятся любые прямые, проходящие через точку $(T/2,1/T)$ и имеющие произвольный коэффициент наклона, это уже континуум решений.

[cool.phenon]

Появился вопрос-следствие,не буду создавать новую тему, но вопрос задам .

Есть класс функций, который упомянут выше. Этот класс определяет всевозможные разности функций $\varphi_{1}\left(x\right);\varphi_{2}\left(x\right)$. Верно ли, что для разности любых двух $\varphi_{1},\varphi_{2}$, разность которых принадлежит этому классу, выполняется указанное в начале темы уравнение?

[Pphantom]

cool.phenon в сообщении #645967 писал(а):

Верно ли, что для разности любых двух $\varphi_{1},\varphi_{2}$, разность которых принадлежит этому классу, выполняется указанное в начале темы уравнение?

Или я чего-то не понимаю, или у Вас получилась тавтология: если разность принадлежит данному классу (для которого условие выполнено), то для нее условие, естественно, будет выполнено.

[cool.phenon]

Я опять некрасиво выразился, но для себя уже ответ нашёл. Имелось ввиду, что первая функция принадлежит какому-то классу, вторая - другому классу, второй строится естественно сразу после того, как построили первый класс. Для любых пар функций из разных классов утверждение выполняется, а вот если брать функции из одного класса - вопрос открыт. К тому же, эти классы могут пересекаться...

Дело всё в том, что это интегральное уравнение (расстояние в некотором пространстве) должно определить несчётный класс функций, попарные расстояния которых больше некоторого числа. Я думал,что эта задача простая, а оказывается...