Векторные функции (числового аргумента)

[gefest_md]

Можно ли сказать, что $\mathrm{dr}$ и $\Delta\mathrm{r}$ эквивалентны при $\Delta t\to 0$, как в случае скалярных функций? И ещё. Почему нет такого понятия как бесконечно малая по сравнению с векторной функцией?

[SpBTimes]

Сейчас, а отображения не подходят?

[мат-ламер]

gefest_md в сообщении #645891 писал(а):

Можно ли сказать, что $\mathrm{dr}$ и $\Delta\mathrm{r}$ эквивалентны при $\Delta t\to 0$, как в случае скалярных функций?

А почему бы и нет?

[CptPwnage]

Бесконечно малые по сравнению с векторной функцией есть конечно, вместо функций рассматриваем их нормы и уже к ним применяем обычное $o$-малое.

[мат-ламер]

CptPwnage в сообщении #645904 писал(а):

Бесконечно малые по сравнению с векторной функцией есть конечно, вместо функций рассматриваем их нормы и уже к ним применяем обычное $o$-малое.

А что, направление пофиг?

[gefest_md]

мат-ламер в сообщении #645899 писал(а):

А почему бы и нет?

Вот что пишут в учебнике. Пусть $\Delta y=A\Delta x+\mathit o(\Delta x),\quad\Delta x\to 0,\ A\text{ - постоянная}.$ При $A\neq 0$ имеет место (двустороннее) равенство $\mathit o(\Delta x)=\mathit o(A\Delta x).$ Отсюда следует, что $\Delta y\sim dy,\quad\Delta x\to 0.$

Так вот, для векторной функции имеем $\Delta\mathrm{r}=\mathrm{a}\Delta t+\mathrm{\mathit o}(\Delta t),\quad\Delta t\to 0,\ \mathrm{a}\text{ - вектор}.$ А вот $\mathrm{\mathit o}(\mathrm{a}\Delta t)$ не определяется.

[CptPwnage]

мат-ламер в сообщении #645907 писал(а):

CptPwnage в сообщении #645904 писал(а):

Бесконечно малые по сравнению с векторной функцией есть конечно, вместо функций рассматриваем их нормы и уже к ним применяем обычное $o$-малое.

А что, направление пофиг?

Ну в моем представлении определение такое
$f=o(g)$ при $\|x\| \to 0 $ тогда и только тогда, когда $\|f\|=\alpha(x) \|g\|, \alpha(x) \to 0$, $\alpha(x)$ числовая функция, $x$ везде стремится к одному и тому же ясное дело

[ewert]

gefest_md в сообщении #645891 писал(а):

Почему нет такого понятия как бесконечно малая по сравнению с векторной функцией?

Потому, что на вектор нельзя делить.

[gefest_md]

ewert в сообщении #645948 писал(а):

Потому, что на вектор нельзя делить.

Но в определении эквивалентности скалярных функций имеем $\frac{f}{g}\to 1$. Т.е. нет смысла говорить об эквивалентности векторных функций? (И как раз в учебнике ничего не сказано об этом)