Комбинаторные задачи

[nulpatrol]

Есть две задачи:

Цитата:

Группа студентов из 20 человек собирается путешествовать поездом. В кассе есть 12 билетов с местами на нижней полке и 8 - на верхней. При этом 5 студентов желают ехать внизу, а 4 вверху. Сколькими способами их можно разместить в вагоне поезда, если порядок размещения пассажиров как внизу, так и вверху не учитывается?
Ответ: 330.

Решить предыдущую задачу при условии, что порядок размещения студентов как вверху, так и внизу учитывается.
Ответ: 950400.

По поводу первой. Если отбросить тех, кто "забронировал билеты", то останется 11 билетов на 11 человек. Теперь нам нужно отобрать 7 человек на нижнюю полку или 4 человека на верхнюю. Это $C_{11}^7 = C_{11}^4=330$

По поводу второй. Учитываем решение первой, но берем во внимание, что порядок должен быть учтен. Способов размещения 5 человек по 5 местам - $A_5^5=5!$. Способов размещения 4 человек по 4 местам - $A_4^4=4!$. С учетом правила произведения - $C_{11}^7\cdot 4!\cdot 5! = C_{11}^4\cdot 4!\cdot 5!=950400$

Правильно ли я размышляю? Или все таки где-то закралась ошибка?

[мат-ламер]

nulpatrol в сообщении #645909 писал(а):

5 студентов желают ехать внизу, а 4 вверху.

Это конкретные студенты, заранее заданые, или какие-то (возможно разные) студенты?

[--mS--]

А порядок размещения остальных пассажиров по их местам учитывать не хотите?

[nulpatrol]

мат-ламер, ну фактически заранее заданные
--mS--, если учитывать порядок и остальных, то вроде как выйдет число намного большее... А вот ответ как раз не очень большой, поэтому есть подозрения, что сама задача не совсем правильно сформулирована. Ведь если учитывать и порядок остальных, то это $4!\cdot 5!\cdot 11!$, не так ли?

[--mS--]

Разумеется. Либо ответ неверен, либо условие

[nulpatrol]

Хорошо, то есть если учитывать, что порядок важен только для тех, кто забронировал места, то мое решение правильно?

[--mS--]

Если подгонять под ответ, то да. Но ситуация, когда не различается даже, какие места внизу заняли данные 5 человек - то ли 1-е, 2-е, 3-е, 4-е, 5-е, то ли с 8-го по 12-е, но почему-то различается, в каком порядке они их заняли, априори странная. Таких условий быть не должно. Поэтому лучшее, что следует сделать - выбросить ответ, и при нормальной трактовке условия решить задачу правильно.

Кстати, ответ "$11!\cdot 5!\cdot 4!$" при нормальной трактовке условия будет неверен. В нём забыто выбрать места для человеков.

[nulpatrol]

А как тогда, подскажите я уже окончательно запутался...

UPD: насколько я понимаю - правильный ответ даже больше, чем $4!\cdot5!\cdot11!$. Да?

[--mS--]

$A_{12}^5$ - способы выбрать места для данных $5$ человек и рассадить их на эти места, если порядок людей учитывается. $A_{8}^4$ - способы выбрать места для данных $4$ человек и рассадить их на эти места, если порядок людей учитывается. И ещё $11!$ - число способов разместить оставшихся $11$ человек на оставшихся местах с учётом порядка. Итого

$$A_{12}^5 \cdot A_{8}^4 \cdot 11! = \dfrac{12!}{7!} \cdot 11! \cdot \dfrac{8!}{4!},$$

что, разумеется, больше, чем $5! \cdot 11! \cdot 4!$.