Нахождение вторых производных составной функции

[TOTAL]

xio в сообщении #645696 писал(а):

Вот так тогда -- можете указать на ошибку в исходном рассуждении?

На вопрос не отвечаете. Меня в этой теме больше нет.

[xio]

Цитата:

Вы понимаете, что в вопросе нет никакой $f(x,y)$?

Ну дык же ж $f(x,y)=w(r(x,y))$.

-- 17.11.2012, 15:15 --

TOTAL в сообщении #645697 писал(а):

xio в сообщении #645696 писал(а):

Вот так тогда -- можете указать на ошибку в исходном рассуждении?

На вопрос не отвечаете. Меня в этой теме больше нет.

Спасибо, ага.

[ИСН]

Нет, ну надо же как-то довести до логического конца.
${\partial w\over\partial x}={\partial w\over\partial r}\cdot{\partial r\over\partial x}$
Да или нет?

[xio]

ИСН в сообщении #645715 писал(а):

Нет, ну надо же как-то довести до логического конца.
${\partial w\over\partial x}={\partial w\over\partial r}\cdot{\partial r\over\partial x}$
Да или нет?

Совершенно согласен, что надо, но это вопрос из той же серии. Я пока пойду порешаю еще, может наведет на мысль.

[arseniiv]

(Оффтоп)

xio в сообщении #645671 писал(а):

"Верны очень обои".

Если вы хотели сцитировать Пруткова, то надо было «Мне нравятся очень(…) обои»:

Я комнату взглядом окинул
И, будто узором прельщен,
«Мне нравятся очень… обои!» —
Сказал им и выбежал вон.

[xio]

О, сходил поел и нарешлось. Ща покажу.

-- 17.11.2012, 17:39 --

arseniiv в сообщении #645726 писал(а):

(Оффтоп)

xio в сообщении #645671 писал(а):

"Верны очень обои".

Если вы хотели сцитировать Пруткова, то надо было «Мне нравятся очень… обои»:

Я комнату взглядом окинул
И, будто узором прельщен,
«Мне нравятся очень… обои!» —
Сказал им и выбежал вон.

:-)

Именно! А я еще решил поиграть в пост-модернизм.

-- 17.11.2012, 18:00 --

Якобианы:

$$D\frac{\partial g}{\partial x}=\begin{bmatrix}\frac{\partial^{2}g}{\partial r\partial x}\end{bmatrix},Dr=\begin{bmatrix}\frac{\partial r}{\partial x} & \frac{\partial r}{\partial y}\end{bmatrix} $$

Решение по второму методу:

$$\begin{align*} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & =\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial x})=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial}{\partial x}g\circ r)(x,y)=\frac{\partial^{2}g}{\partial r\partial x}\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial r}(\frac{\partial g}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x})\cdot\frac{\partial r}{\partial x}=(\frac{\partial^{2}g}{\partial r^{2}}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial r}\frac{\partial^{2}r}{\partial r\partial x})\cdot\frac{\partial r}{\partial x}\\ & =\frac{\partial^{2}g}{\partial r^{2}}(\frac{\partial r}{\partial x})^{2}+\frac{\partial g}{\partial r}\frac{\partial^{2}r}{\partial r\partial x}\frac{\partial r}{\partial x}=g''(r)\cdot\frac{x^{2}}{y^{2}}+g'(r)\cdot(-\frac{x}{r^{2}})\cdot\frac{x}{r}=\frac{x^{2}}{r^{2}}(g''(r)-g'(r)\frac{1}{r}) \end{align*} $$

Аналогично для $y$, получаем:

$$\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=(\frac{x^{2}}{r^{2}}+\frac{y^{2}}{r^{2}})(g''(r)-g'(r)\frac{1}{r})=g''(r)-\frac{1}{r}\, g'(r) $$

Оно! За тем исключением, что в условии $+$, а у нас $-$. Кто найдет ошибку, тому плюс в карму нириально.

-- 17.11.2012, 18:06 --

Кстати, я искренне так и не понял, чего от меня хотел некто TOTAL, может кто-нибудь объяснить?

Еще меня смущает, что первый метод не сработал. Все-таки хорошо бы там тоже найти оплошность.

-- 17.11.2012, 18:27 --

Кстати еще, все наверняка знают, что $\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=\nabla^{2}f$ называется Лапласиан и если $\nabla^{2}f=0$ , то по результату предыдущей задачи $f(x,y)=a\log(x^{2}+y^{2})+b$ . Обобщается на $n$ измерений как $f(\mathbf{x})=a\left\Vert \mathbf{x}\right\Vert ^{2-n}+b$ , только я пока еще не понял почему.

[Joker_vD]

Я не знаю, чего хотел TOTAL, зато мне интересно, что такое $\partial g/\partial x$?

[xio]

Joker_vD в сообщении #645739 писал(а):

Я не знаю, чего хотел TOTAL, зато мне интересно, что такое $\partial g/\partial x$?

Я уже где-то писал, поищите. Если не понравилось объяснение -- скажите прямо, мне уже порядком поднадоела эта дилетантская маевтика.

[ИСН]

Ну смотрите. Есть функция w(r). Есть задача нахождения от неё производной, но по x. Это Вы делаете с успехом: ${\partial w\over\partial x}={\partial w\over\partial r}\cdot{\partial r\over\partial x}$. С какой функцией мы могли так сделать? С любой. Теперь почему Вы наотрез отказываетесь проделать то же самое ещё раз, когда функция обозначена другой буквой?

[xio]

ИСН в сообщении #645748 писал(а):

Ну смотрите. Есть функция w(r). Есть задача нахождения от неё производной, но по x. Это Вы делаете с успехом: ${\partial w\over\partial x}={\partial w\over\partial r}\cdot{\partial r\over\partial x}$. С какой функцией мы могли так сделать? С любой. Теперь почему Вы наотрез отказываетесь проделать то же самое ещё раз, когда функция обозначена другой буквой?

А! A-ha! Вот в чем штука:

$$\frac{\partial^{2}g}{\partial x\partial r}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial g}{\partial r})=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial}{\partial r}g\circ r)$$

Якобиан

$$D\frac{\partial g}{\partial r}=\begin{bmatrix}\frac{\partial^{2}g}{\partial r^{2}}\end{bmatrix} $$

Получаем

$$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial}{\partial r}g\circ r)=\frac{\partial^{2}g}{\partial r^{2}}\frac{\partial r}{\partial x}$$

Оно?

[ИСН]

Оно будет, когда подставите всё в изначальное выражение, и получите, что там требовалось.

-- Сб, 2012-11-17, 20:05 --

но направление верное. да.

[xio]

Yup, ага.

Всем большое спасибо!