Уравнение и неравенство

[DjD USB]

1) Докажите, что если $x,y,z$ - углы произвольного треугольника, то справедливо тождество $\cos^2 x +\cos^2 y + \cos^2 z +2 \cos x \cos y \cos z =1$.
2) Докажите неравенство $x^2-3x^3<\frac{1}{6}$ на луче от $\frac{1}{4}$ до + бессконечности.

[gris]

Для треугольника $z=\pi-x-y$
Во втором самое простое посчитать производную, определить локальный максимум и промежутки монотонности.

[DjD USB]

gris в сообщении #645385 писал(а):

Для треугольника $z=\pi-x-y$
Во втором самое простое посчитать производную, определить локальный максимум и промежутки монотонности.

Во- втором если находить производную то при, $x>\frac{2}{9}$ график убывает. А т.к $\frac{1}{4}$ правее $\frac{2}{9}$ то у нас все хорошо. Так?

[gris]

да, только надо убедиться, что $f(\dfrac14)<\dfrac16$
Можно даже взять $<\dfrac 1{60}$ .

[DjD USB]

Стер

-- Пт ноя 16, 2012 17:02:32 --

gris в сообщении #645385 писал(а):

Для треугольника $z=\pi-x-y$

Не понимаю, что это дает.

[TR63]

Второе неравенство достаточно доказать для $\frac1 4<x<\frac1 3$.
Усиливаем левую часть. Получаем очевидное:
$\frac1 9\cdot\frac1 4<\frac1 6$.

[DjD USB]

TR63 в сообщении #645412 писал(а):

Второе неравенство достаточно доказать для $\frac1 4<x<\frac1 3$.
Усиливаем левую часть. Получаем очевидное:
$\frac1 9\cdot\frac1 4<\frac1 6$.

Второе уже доказанно но спасибо. Меня сейчас больше первое интересует.

[TOTAL]

$\cos^2 y =\cos y \cos y=\cos y \cos(\pi-x-z)$ и т.д.

Аналогично поступите с $\cos^2 z$

[gris]

Да, там формула приведения, косинуса суммы, куча вынесений за скобки, а в конце основное тригонометрическое тождество. Может быть можно и покрасивее, но это самый лобовой путь решения.
Правда, я предполагал исключить $z$, вроде бы должно всё получиться.

[TR63]

gris,
если $1-3x<0$, т.е. $x>\frac1 3$, то второе неравенство очевидно. Первое неравенство можно доказать красивее, но там другая история.

[gris]

TR63
С производными чего там доказывать. На положительной полуоси максимальное значение правой части равно $(2/9)^2-3\cdot (2/9)^3=4/243$, что меньше $1/6$. А Вы хотите доказать без производных?

В первой задаче под красивостью я понимал некую геометрическую интерпретацию. Что-то сразу ничего на ум не приходит.

[TR63]

gris в сообщении #645525 писал(а):

А Вы хотите доказать без производных?

gris,
раз Вы спрашиваете, значит или у меня ошибка, или Вы не поняли моего доказательства. Я у себя ошибки не вижу. Попробую объяснить подробнее.
$x^2-3x^3=x^2(1-3x)$
1). Если $x>\frac1 3$, то левая часть отрицательна, а правая положительна. Неравенство верно.
2).$\frac1 4<x<\frac1 3$ Если верно усиленное неравенство, то верно исходное.
В первом множителе вместо x берём $\frac1 3$ во втором $\frac1 4$. Получаем $\frac1 {36}<\frac1 6$. Т.е. исходное неравенство верно.

[gris]

TR63, согласен. Можно и без производных в данном случае. Правая часть слишком уж большая. А вот если вместо $1/6$ взять $1/60$, то Ваш метод и не пройдёт.

[TR63]

gris в сообщении #645546 писал(а):

А вот если вместо $\frac1 6$ взять $\frac1 {60}$ , то Ваш метод и не пройдёт.

.
gris, абсолютно не возражаю (но это уже будет другая задача).
2).

gris в сообщении #645525 писал(а):

В первой задаче под красивостью я понимал некую геометрическую интерпретацию

.
А я-свою гипотезу "о построении правдоподобных гипотез". (Задачу эту достаточно решить в одной точке.)