Расчет переходного процесса в линейной системе

[profrotter]

Скажу вам по секрету, что подробно никто, кроме вас и вашего преподавателя проверять не будет. При беглом просмотре похоже на правду.

Смущает меня вот что. Вы ведь нашли, что $i_1(0)=i_2(0)=1A$, тогда из третьего уравнения системы $i_3(0)=0$. Но $i_3(t)=C\frac {dU_{R2}}{dt}$. Отсюда начальное условие $\frac {dU_{R2}}{dt}(0)=i_3(0)=0$. Если продифференцировать ваш результат такого не наблюдается. Не могу сказать, кто ошибается. Возможно ошибка и в моих рассуждениях.

[Jnrty]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: несоответствие разделу.

[Mikle_Finsky]

profrotter
Что-то в этой задаче я рассеянный стал, два раза ошибиться в корнях это не каждому дано.
Ошибка во втором корне, $P_2=-10000$.
В итоге после всех перерасчетов получилось:

$$P_1=-2500 ; P_2=-10000$$

$$\begin{cases} 1-2.5=A_1+A_2 \\ 3\cdot 10^{3}=-2500A_1-10000A_2\\ \end{cases} $$

$$A_1=-1.6; A_2=0.1$$

$$i_L(t)=2.5-1.6\exp{(-2500t)}+0.1\exp{(-10000t)}$$

$$U_R_2=100-80\exp{(-2500t)}+20\exp{(-10000t)}$$

Так же я провел расчет операторным методом. Здесь путаницы с начальными условиями и перехода от $i_1 \to U_R_2$ быть не должно. Приступим.
1)Выберем положительные направления токов в ветвях и запишем интегродифференцальные уравнения Кирхгофа для изображений с учетом независимых начальных условий в виде внутренних источников ЭДС.

$$\begin{cases} I_1(p)pL+I_2(p)R_2=\frac{E}{p}+Li_L(0) \\ I_3(p)\frac{1}{pC}-I_2(p)R_2=-\frac{Uc(0)}{p} \\ I_1(p)-I_2(p)-I_3(p)=0 \\ \end{cases}$$

2) Находим из системы ток $I_2(p)$

$$I_2(p)=\frac{E+Li_L(0)p+P^{2}LUc(0)C}{p(R_2+Lp+P^{2}LR_2C)}$$

Так как надо найти $U_R_2$, то умножим найденный нами ток на $R_2$ и подставим значения:
$i_L(0)=1\text{[A]}; U_c(0)=40\text{[В]}; R_1=60\text{[Ом]};R_2=40\text{[Ом]};L=20\cdot 10^{-3}\text{[Гн]}; C=2\cdot 10^{-6}\text{[Ф]};E=100\text{[В]}.$

$$U_R_2(p)=\frac{40(100+\frac{1}{50}p+\frac{1}{625000}p^2)}{p(40+\frac{1}{50}p+\frac{1}{625000}p^{2})}$$

3)Найдем оригинал
Воспользуемся теоремой о вычетах:

$$f(t)=\sum\limits_{p=Pk}\ \operatorname{Res(F(p)\cdot\exp{(pt)},pk)}$$

Найдем нули функции $U_R_2(p)$, нулями функции будут являться корни знаменателя.

$$P_1=0;P_2=-2500;P_3=-10000$$

Все нули функции являются существенными точками, т.к.

$$\lim\limits_{p \to Pk}U_R_2(p)=\nexists ,k=1,2,3$$

Чтобы найти их вычеты нужно разложить функцию

$$U_R_2(p)$$

в ряд Лорана в окрестности точек Pk, коэф. при $p^{-1}$ и будет наш вычет. Разложение приводить тут не буду, приведу только результаты.

$$\operatorname{Res(U_R_2(p),p=0)}=100$$

$$\operatorname{Res(U_R_2(p),p=-2500)}=-80$$

$$\operatorname{Res(U_R_2(p),p=-10000)}=20$$

4) Итог:

$$U_R_2(t)=100-80\exp{(-2500t)}+20\exp{(-10000t)}$$

[profrotter]

Ну вот теперь то получается $\frac {dU_{R2}}{dt}(0)=0$. Собственно начальные условия для $U_{R2}$ определены. Кажется Вы в этом видели проблему, когда пошли по обходному пути. Тем более сошлось двумя методами.

[Mikle_Finsky]

profrotter
С электричеством я не очень дружу. В принципе для этой работы нужно было знать только основы цепей, з-ны Кирхгофа, з-н Ома, ДУ, и операторное исчисление.
Если с двумя последними пунктами у меня более менее порядок, то с остальным...можно сказать делая эту работу я одновременно изучал, как составлять уравнения Кирхгофа, как вообще работает цепь (даже наглядно, спасибо веку ИТ), до меня дошел смысл фразы "Сопротивление бесполезно". Да у меня были трудности с определением $U_R_2(0)$, так что подумал лучше пойду путем который виден четко.
Спасибо Вам за помощь еще раз.