Положение равновесия. Исследование устойчивости.

[Booben]

Тяжелое колечко м скользит по стержню AB, который приводится во вращение вокруг вертикальной оси OS с постоянной угловой скоростью $\omega$. Прямая AB составляет с осью OS угол $\alpha$.

Найти положение равновесия и исследовать устойчивость.


Положение равновесия и исследование устойчивости я проведу сам(производные, экстремумы - просто). Помогите пожалуйста с описанием мат. модели задачи.

1. Берем обобщенную координату.
Я так понимаю, в моем случае обобщенных координат будет две - угол $\alpha$ и расстояние от центра стержня до колечка. Через них я смогу описать всю систему.
2. Ищем потенциальную энергию системы.
Вот здесь у меня загвоздка.
Я думаю, у меня состоит из двух компонент:
а) Постоянное вращение стержня - $\Pi_1 = \frac {I\omega^2} {2}$ - где I момент инерции. По нему у меня вопрос мне нужно его расписать через мои координаты, но я просто, видимо, туплю. наверное что то вроде:
$I = mx^2\cos \alpha$
тогда
$\Pi_1 = \frac {mx^2\cos \alpha\omega^2} {2}$
Я сомневаюсь, подскажите пожалуйста.
б) вес кольца:
$\Pi_2 = {mgx\cos \alpha} $
Ну и собственно потенциальная энергия всей системы, так как я взял за начало координат точку на верхнем конце прикрепленного стержня, когда угол $\alpha$ нулевой(то есть прикрепленный стержень расположен прямо по направлению вращающегося стержня), получаем:
$\Pi=\frac {mx^2\cos \alpha\omega^2} {2} - {mgx\cos \alpha}$
Подскажите пожалуйста, это правильно или нет? Заранее спасибо.

Извиняюсь, случайно запостил не в тот раздел. Огромная просьба модераторам переместить в "помогите решить".
Спасибо заранее.

[Jnrty]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: несоответствие разделу.

[Munin]

Я думаю, что достаточно одной обобщённой координаты $OM.$ А угол $\alpha$ задан условиями, и вроде, не переменный. А то бы он быстро свалился в область $(\tfrac{\pi}{2},\pi],$ и колечко бы улетело нафиг вниз в сторону.

Соответственно, стержень только накладывает связь, а не участвует в динамике системы, и выписывать для него кинетическую энергию (которую вы почему-то назвали потенциальной) не нужно.

[Booben]

Хорошо, не буду спорить, значит ещё проще - дифференцировать потом только по одной координате. А уравнения верны? Я правильно написал или нет.

[Oleg Zubelevich]

напишите второй закон Ньютона для кольца в проекции на стержень. Домножте левую и правую часть на $\dot x$ и проинтегрируйте по времени. Получите закон сохранения энергии. Оттуда найдете (эффективную)потенциальную энергию.

[Munin]

Booben в сообщении #645276 писал(а):

А уравнения верны? Я правильно написал или нет.

После того, как я сказал, что их целиком переделывать надо, вы новой версии не представили.