Отображение квадрата на отрезок

[Сталкер]

Где можно найти информацию по отображению континуумов больней размерности, на континуумы меньшей размерности (напр. квадрата на отрезок)? И в какое подмножество отрезка при этом перейдет, например, диагональ квадрата?

[Brukvalub]

Этот вопрос обсуждался ранее на Форуме (поищите в архиве)

[Falex]

Хм...а приколько:тож хочу знать.Сталкер,как найдешь:напиши ))

[PAV]

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=35593#35593

[Falex]

А.Я имел совесм другое:некое отображение,переводящее квадрат в отрезок.Ну да ладно:мне было просто интересно.

[Someone]

Сталкер писал(а):

Где можно найти информацию по отображению континуумов больней размерности, на континуумы меньшей размерности

П.С.Александров, Б.А.Пасынков. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. "Наука", Москва, 1973. Глава девятая.

А что такое необыкновенное Вы ожидаете от этих отображений?

Сталкер писал(а):

(напр. квадрата на отрезок)? И в какое подмножество отрезка при этом перейдет, например, диагональ квадрата?

Если отображение непрерывное (я полагаю, что это неявно предполагается), то диагональ квадрата перейдёт в замкнутое связное подмножество отрезка, то есть, в некоторый отрезок или одноточечное множество.

[Сталкер]

Someone, спасибо за информацию! Возможно, я не очень точно сформулировал вопрос, меня интересуют не просто отображения, а биекции континуумов различной размерности. Вы, видимо, предполагаете отображение "в широком смысле ", говоря "диагональ квадрата перейдёт в замкнутое связное подмножество отрезка, то есть, в некоторый отрезок или одноточечное множество". Мне интересно посмотреть именно образ, скажем диагонали квадрата, при биекции его на отрезок (или интервал), его топологические характеристики (категория, плотность, пористость, борелевский тип и т.д).
Ещё раз спасибо за информацию!

[Someone]

Биекции, то есть, взаимно однозначные отображения? Для компактов (в частности, для континуумов, которые определяются как связные компакты; компакты предполагаются хаусдорфовыми, в отличие от произвольных компактных пространств) непрерывные биекции автоматически являются гомеоморфизмами и все топологические свойства сохраняют. Произвольные биекции, кроме мощности, ничего не сохраняют. Диагональ квадрата может перейти в любое подмножество отрезка, лишь бы мощность этого подмножества и мощность его дополнения были равны $2^{\aleph_0}$.

P.S. Что такое пористость?

[Сталкер]

Взаимно непрерывные отображения меня мало интересуют, хочу посмотреть образы подмножеств континуума (размерности меньшей, чем исходный), являющихся континуумами. Интесно при каких взаимо однозначных отображениях из таких плдмножеств можно получить нигде не плотные или даже пористые множества. Понятие поритстости схоже с не плотностью в шаре, но более сильное. Точка $x$ называется точкой пористости множества $\Gamma$ если в любом шаре $\rho(x,h)$ найдётся шар $ p $ целиком принадлежащий дополнению $\Gamma $, притом отношение диаметра шара $ p $ к диаметру шара $\rho(x,h)$ не равно нулю. А пористое множество состоит только из точек пористости. На самом деле там чуть сложнее, если интересно можете посмотреть Коллингвуд Э., Ловатер А. Теория предельных множеств М., Мир. 1971 (Дополнения переводчика).

[Someone]

Не понимаю Вашей проблемы. Если на биективные отображения не накладывать никаких ограничений, то образом заданного множества может быть любое множество такой же мощности. Если речь идёт о биекции $f\colon X\xrightarrow{\text{на}}Y$ и образе подмножества $A\subseteq X$, то им может быть любое множество $B\subseteq Y$, удовлетворяющее условиям $|B|=|A|$ и $|Y\setminus B|=|X\setminus A|$.

По поводу пористости. Я не совсем понял Ваше определение. Диаметр шара, разумеется, равен нулю, только если шар состоит из одной точки. То есть, если в нашем метрическом пространстве нет изолированных точек, то всякая точка нигде не плотного множества будет его точкой пористости. Вы не могли бы уточнить? Упомянутая Вами книжка у меня, кажется, где-то есть, но найти её сложно.