Ряды

[mr.tumkan]

Помогите, пожалуйста, понять задачи, в которых нужно исследовать на сходимость.

1) $\displaystyle\sum\dfrac{1}{\ln^2n}\cdot\cos\dfrac{\pi n^2}{n+1}$

Если немного причесать, то получается

$\displaystyle\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{\ln^2n}\cdot\cos\dfrac{\pi }{n+1}$

Дальше приходят на ум признаки Абеля и Дирихле. Походу здесь Дирихле.

Последовательность $\dfrac{1}{\ln^2n}$ монотонна и ограничена (можно ли это считать очевидным?)

Последовательноть частичных сумм $\displaystyle\sum_n(-1)^{n-1}}\cos\dfrac{\pi }{n+1}$ ограничена.

Как доказать эту ограниченность или что-то неверно?

2) $\displaystyle\sum\dfrac{n!\cdot n^{-p}}{q(q+1)...(q+n)}$

Какой признак посоветуете?

[SpBTimes]

1) Удобнее всего по Тейлору, наверное
2) Даламбер, или иже с ним

[mr.tumkan]

SpBTimes в сообщении #644691 писал(а):

1) Удобнее всего по Тейлору, наверное
2) Даламбер, или иже с ним

2) Даламбер дает 1

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)!\cdot (n+1)^{-p}}{q(q+1)...(q+n)(q+n+1)}\cdot \dfrac{q(q+1)...(q+n)}{n!\cdot n^{-p}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)}{(q+n+1)}\cdot{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{-p}}=$$

$$=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{-p}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Big(1-\frac{p}{n}+O\big(\frac{1}{n^2}\big)\Big)=1$$

[SpBTimes]

Ну возьмите Гаусса или Раабе.

[mr.tumkan]

Гаусс

$$\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{q(q+1)...(q+n)(q+n+1)}{(n+1)!\cdot (n+1)^{-p}}\cdot \dfrac{n!\cdot n^{-p}}{q(q+1)...(q+n)}=\dfrac{(q+n+1)}{(n+1)}\cdot{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{p}}=$$

$$=\Big(1+\dfrac{q}{n+1}\Big)\cdot{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{p}}=\Big(1+\dfrac{q}{n+1}\Big)\cdot{\Big(1+\frac{p}{n}+O\big(\frac{1}{n^2}\big)\Big)}=1+\frac{p}{n}+\dfrac{q}{n+1}+O\big(\frac{1}{n^2}\big)\Big)}$$

А какой вывод из этого можно сделать?

[cool.phenon]

Есть самый чувствительный признак сходимости рядов - признак Ермакова. Я не гарантирую, что это будет просто, но там, где все не работают, он работает.

[mr.tumkan]

cool.phenon в сообщении #644760 писал(а):

Есть самый чувствительный признак сходимости рядов - признак Ермакова. Я не гарантирую, что это будет просто, но там, где все не работают, он работает.

Спасибо, Гаусс уже сработал $1+\frac{p}{n}+\dfrac{q}{n+1}+O\big(\frac{1}{n^2}\big)\Big)}=1+\frac{p+q}{n}+O\big(\frac{1}{n^2}\big)\Big)}$

Сходимость при $p+q>1$, расходимость при $p+q\le 1$

-- 14.11.2012, 23:09 --

Больше уже нет вопросов, спасибо

[Sonic86]

(чей признак больше?)

cool.phenon в сообщении #644760 писал(а):

Есть самый чувствительный признак сходимости рядов - признак Ермакова. Я не гарантирую, что это будет просто, но там, где все не работают, он работает.

Хи-хи А как же признак Куммера? Мне вообще предельного хватает. Для знакоположительных рядов можно вообще выписать универсальный признак сходимости.

[mr.tumkan]

Sonic86 в сообщении #644819 писал(а):

(чей признак больше?)

cool.phenon в сообщении #644760 писал(а):

Есть самый чувствительный признак сходимости рядов - признак Ермакова. Я не гарантирую, что это будет просто, но там, где все не работают, он работает.

Хи-хи А как же признак Куммера? Мне вообще предельного хватает. Для знакоположительных рядов можно вообще выписать универсальный признак сходимости.

Какой же этот универсальный?