2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квадратичные формы
Сообщение14.11.2012, 15:43 


29/08/11
1759
Пытаюсь привести квадратичную форму к каноническому виду.

$f(x_{1},x_{2}) = 6x_{1}^2-6x_{1}x_{2}+6x_{2}^2$

1) Метод Лагранжа:

$f(x_{1},x_{2}) = 6x_{1}^2-6x_{1}x_{2}+6x_{2}^2 = 6 \cdot (x_{1}^2-x_{1}x_{2}+x_{2}^2 ) = 6 \cdot (x_{1}^2-2x_{1} \frac{x_{2}}{2} ++ (\frac{x_{2}}{2})^2- (\frac{x_{2}}{2})^2+x_{2}^2 ) = 6 \cdot ((x_{1}-\frac{x_{2}}{2})^2+ \frac{3}{4} x_{2}^2)  = 6 \cdot (x_{1}-\frac{x_{2}}{2})^2+\frac{9}{2} \cdot x_{2}^2 $

Заменяю: $y_{1}=x_{1} - \frac{x_{2}}{2}, y_{2}=x_{2}$ .

Тогда: $6 y_{1}^2 +\frac{9}{2} \cdor y_{2}^2$

2) Методом ортогональных преобразований:

$f(x_{1},x_{2}) = 6x_{1}^2-6x_{1}x_{2}+6x_{2}^2$

Матрица квадратичной формы: $\begin{pmatrix}
6 & -3\\ 
-3 & 6 
\end{pmatrix}$

Характеристический полином матрицы квадратичной формы:

$\begin{vmatrix}
6-\lambda  & -3\\ 
-3 & 6-\lambda 
\end{vmatrix} = (6-\lambda)^2-9=36-12\lambda+\lambda^2-9 =\lambda^2-12\lambda+ 27 = (\lambda-3)(\lambda-9)$

Т.е. имеем следующий канонический вид квадратичной формы:

$3 z_{1}^2 + 9z_{2}^2$


В итоге получаю разные выражения для канонического вида, я что-то не так делаю? (у меня есть одна мысль, касательно того, почему получаются разные записи результатов, но...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичные формы
Сообщение14.11.2012, 15:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5671
Новосибирск
Limit79 в сообщении #644499 писал(а):
Т.е. имеем следующий канонический вид квадратичной формы:

А никто и не гарантировал, что разными преобразованиями получится один и тот же вид, вот только линейной как у Вас вдруг во вторм случае она получиться не может. Инвариантно лишь число положительных, а также отрицательных коэффициентов при квадратах - закон инерции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичные формы
Сообщение14.11.2012, 16:01 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
В методе Лагранжа ошибка. $1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}$ будет $\frac{3}{4}$, а не $\frac{1}{4}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичные формы
Сообщение14.11.2012, 16:04 


29/08/11
1759
bot
Ой, я там квадраты забыл. Спасибо, поправил.

Тут получается, что кол-во положительных коэффициентов равно $2$ в первом и $2$ во втором, а отрицательных $0$ в обоих, то есть закон инерции выполняется?

-- 14.11.2012, 17:10 --

cool.phenon
Спасибо, исправил.

-- 14.11.2012, 17:12 --

В задании так же написано "Сделать проверки, проверить выполнение закона инерции".

Закон инерции выполняется, так как имеем равное кол-во положительных коэффициентов в обоих случаях, и равное отрицательных. А вот что значит "Сделать проверки"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичные формы
Сообщение14.11.2012, 18:16 


23/09/12
118
Limit79 в сообщении #644499 писал(а):
В итоге получаю разные выражения для канонического вида, я что-то не так делаю?

В методе Лагранжа используются общие обратимые линейные замены координат, при этом ортогональные инварианты не сохраняются, инвариантом таких замен является только сигнатура. В случае же приведения к каноническому виду используются только ортогональные замены систем координат, поэтому это отвечает более "тонкому" отношению эквивалентности на квадратичных формах. Это как аффинная и метрическая классификации кривых второго порядка: в первой существует только один эллипс, одна парабола и одна гипербола, в то время как для второй представителями классов эквивалентности являются кривые, заданные каноническими уравнениями.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group