Квадратичные формы

[Limit79]

Пытаюсь привести квадратичную форму к каноническому виду.

$f(x_{1},x_{2}) = 6x_{1}^2-6x_{1}x_{2}+6x_{2}^2$

1) Метод Лагранжа:

$f(x_{1},x_{2}) = 6x_{1}^2-6x_{1}x_{2}+6x_{2}^2 = 6 \cdot (x_{1}^2-x_{1}x_{2}+x_{2}^2 ) = 6 \cdot (x_{1}^2-2x_{1} \frac{x_{2}}{2} ++ (\frac{x_{2}}{2})^2- (\frac{x_{2}}{2})^2+x_{2}^2 ) = 6 \cdot ((x_{1}-\frac{x_{2}}{2})^2+ \frac{3}{4} x_{2}^2) = 6 \cdot (x_{1}-\frac{x_{2}}{2})^2+\frac{9}{2} \cdot x_{2}^2 $

Заменяю: $y_{1}=x_{1} - \frac{x_{2}}{2}, y_{2}=x_{2}$ .

Тогда: $6 y_{1}^2 +\frac{9}{2} \cdor y_{2}^2$

2) Методом ортогональных преобразований:

$f(x_{1},x_{2}) = 6x_{1}^2-6x_{1}x_{2}+6x_{2}^2$

Матрица квадратичной формы: $\begin{pmatrix} 6 & -3\\ -3 & 6 \end{pmatrix}$

Характеристический полином матрицы квадратичной формы:

$\begin{vmatrix} 6-\lambda & -3\\ -3 & 6-\lambda \end{vmatrix} = (6-\lambda)^2-9=36-12\lambda+\lambda^2-9 =\lambda^2-12\lambda+ 27 = (\lambda-3)(\lambda-9)$

Т.е. имеем следующий канонический вид квадратичной формы:

$3 z_{1}^2 + 9z_{2}^2$


В итоге получаю разные выражения для канонического вида, я что-то не так делаю? (у меня есть одна мысль, касательно того, почему получаются разные записи результатов, но...)

[bot]

Limit79 в сообщении #644499 писал(а):

Т.е. имеем следующий канонический вид квадратичной формы:

А никто и не гарантировал, что разными преобразованиями получится один и тот же вид, вот только линейной как у Вас вдруг во вторм случае она получиться не может. Инвариантно лишь число положительных, а также отрицательных коэффициентов при квадратах - закон инерции.

[cool.phenon]

В методе Лагранжа ошибка. $1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}$ будет $\frac{3}{4}$, а не $\frac{1}{4}$

[Limit79]

bot
Ой, я там квадраты забыл. Спасибо, поправил.

Тут получается, что кол-во положительных коэффициентов равно $2$ в первом и $2$ во втором, а отрицательных $0$ в обоих, то есть закон инерции выполняется?

-- 14.11.2012, 17:10 --

cool.phenon
Спасибо, исправил.

-- 14.11.2012, 17:12 --

В задании так же написано "Сделать проверки, проверить выполнение закона инерции".

Закон инерции выполняется, так как имеем равное кол-во положительных коэффициентов в обоих случаях, и равное отрицательных. А вот что значит "Сделать проверки"?

[fancier]

Limit79 в сообщении #644499 писал(а):

В итоге получаю разные выражения для канонического вида, я что-то не так делаю?

В методе Лагранжа используются общие обратимые линейные замены координат, при этом ортогональные инварианты не сохраняются, инвариантом таких замен является только сигнатура. В случае же приведения к каноническому виду используются только ортогональные замены систем координат, поэтому это отвечает более "тонкому" отношению эквивалентности на квадратичных формах. Это как аффинная и метрическая классификации кривых второго порядка: в первой существует только один эллипс, одна парабола и одна гипербола, в то время как для второй представителями классов эквивалентности являются кривые, заданные каноническими уравнениями.